【正文】 相當(dāng)于圖 的 α n，我們可以得到 sinγ =2sin2sinmn?? ???? （ ） 41 δ n 的可能值已列于表２ .１， α m 的可能值只有 0， 60， 90， 120， 180，一一代入 ()式 ,即可求出任意兩個(gè)軸之間交角 γ 的一切可能值。 32’ 0 120 60 0 180 0 表中互補(bǔ)的兩個(gè) δ n 值，實(shí)際上只能作為一個(gè)可能值，所以 δ n 僅有四個(gè)可能值，即 90176。 ， 180176。 sin2n?cos2n?＝ 0 δ＝ 60176。作一平面，垂直 OB，且包含 A和 C，平面截 OB 于 E點(diǎn)，（見(jiàn)圖２． 19），則 ∠ AEC＝ αn 令∠ ABC＝ δ ，在等腰三角形 △BAC 中 ,sin2? =BCAC2 在等腰三角形△ EAC中 ,sin 2n? =ECAC2 在直角三角形 △ EBC中， cos 2n? =sin(90176。 m(∥ ) → Sn，2n個(gè) C2，2n個(gè) m（ n為偶數(shù)） 定理五 C2179。 C2(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。 ∴ cos2? =cos290176。但是這里是一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)反軸，合成軸 必為反軸。 sin290176。 Em，則 E E2都是 Em、 En 組合的新對(duì)稱元素。 OC 軸的基轉(zhuǎn)角為 ω OC 和 OA的交角為 γ ’ OC 和 OB 的交 角為 γ ” 由球面三角公式得： ［１］ cos2?= cos2? cos2?－ sin2? sin2?cosδ cosγ ’=2sin2sin2c os2c os2c os????? ? cosγ ” =2sin2sin2c os2c os2c os????? ? 一般情況下，通過(guò) O 點(diǎn)且與 OA 及 OB 相交 γ ’， γ ”角的直線一共可有兩條，它們對(duì)稱地分布于 AOB 平面的兩側(cè)（相當(dāng)于圖中的 OC 和 OC’）。 Cn(δ )=Cq 證明：見(jiàn)圖２ .17 的圖解，設(shè) OA, OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個(gè)原始旋轉(zhuǎn) 軸，交角 δ， OA的基轉(zhuǎn)角為 α ， OB 的基轉(zhuǎn)角為β。 167。晶體的點(diǎn)群 ，就是該晶體所具有的全部對(duì)稱元素的總和，或叫集合。 含有反軸（非真軸）對(duì)稱的體系，必有對(duì)映的圖形，也就是必有對(duì)映體。 x 33 I61=??????????100010001??????????100001011　 = ??????????100001011　 = ??????????100001011　 ??????????100010001 I62=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I63=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001 =m(xy) I64=??????????100001011　??????????100010001 =??????????100001011　 I65=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I66=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 5．２當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) n=1， I1=1 =i E??????????100010001=??????????100010001=i n=3 I31=C31178。 M φ176。一個(gè)點(diǎn) N1 移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)陣周期后，得 N2.。39。 C31 30 =??????????100011010??????????100011010??????????100011010=E (2) 菱形坐標(biāo)系．坐標(biāo)軸 ox=oy=oz，軸夾角xoy=yoz=zox≠ (或＝ )90176。 ， cosφ =1/2， sinφ = 3 /2 C3=???????????? ?10002/12/302/32/1　　　 矩陣元是非整數(shù)，使用起來(lái)很不方便。 （ 5） 繞 z軸轉(zhuǎn)過(guò)θ 這個(gè)對(duì)稱操作是五個(gè)矩陣的乘積： ?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????????　　　????sin0cos010cos0sin?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????? ?????sincoscossin0010　　 ???????????1000cossin0sincos　　　　 ???? 旋轉(zhuǎn)軸的圖示法 前面我們多次提到行列式的值，對(duì)稱心和對(duì)稱面的行列式等于－ 1，而旋轉(zhuǎn)軸的行列式等于 +1，這有什么意義呢？我們定義坐標(biāo)系符合右手定則，體系經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)操作后，原來(lái)的右手定則坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)，不論那旋轉(zhuǎn)是反時(shí)針還是順時(shí)針?lè)较?。?jiàn)圖２ .4 設(shè)將 P1點(diǎn)連同坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)過(guò) θ 角，得到 P2 即 P1（ x1,y1） — → P2(x2,y2) 同時(shí)，坐標(biāo)系 xy— → x’ y’ 由圖可見(jiàn)， x2=OA=OBAB =OBCD =OCcosθ CD =x1cosθ y1sinθ y2=AD+DP2 =BC+DP2 =x1sinθ +y1sin(90θ ) =x1sinθ +y1cosθ 即 ??? ??? ?? ?? c osys inxy s inyc osx112112x 寫(xiě)成矩陣形式 ????????２２yx ＝ ???????? ? ?? ?? cossin sincos ????????１１yx 28 所以繞 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣是?????????? ?1000c o ssin0sinc o s　　　　 ???? 。 圖示如圖 。這五個(gè)類型對(duì)稱操作是： 恒等操作 E，對(duì)稱心操作 i，對(duì)稱面操作 m，轉(zhuǎn)動(dòng)操作 Cn，旋轉(zhuǎn)反映操作 Sn 下面分別討論 它們。 B)179。設(shè)有一個(gè)幾何變換 T，能使 r變?yōu)?Tr。 一個(gè)圖形，經(jīng)過(guò)一種以上操作（包括等同操作）后能夠復(fù)原，這種圖形叫做 對(duì)稱圖形 。 24 第二章 晶體的對(duì)稱性 167。 什么叫對(duì)稱？ 對(duì)稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù) 。 空間里一個(gè)點(diǎn)，可以用它所在坐標(biāo)系上的一個(gè)矢量 r來(lái)表示。表示組合操作，則 (A179。這些點(diǎn)用五個(gè)類型的對(duì)稱操作，相互關(guān)聯(lián)。如果點(diǎn)（ x,y,z）代表一個(gè)圖形，則 m 對(duì)稱操作后得到的是其對(duì)映圖形。轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣應(yīng)有下面的形式： ??????????1000022211211CCCC 因與 z 無(wú)關(guān)，問(wèn)題可以在 xy 二維平面上 討論。 ρ，使 Cn與 z軸重合 （ 3） 繞 z軸作 Cn操作，轉(zhuǎn)動(dòng)角φ = n?360 （ 4） 繞 y軸轉(zhuǎn)過(guò)ρ 90176。 ， cosφ =0， sinφ =1 所以， C4=??????????100001010 例 3． C3 在直角坐標(biāo)系中， n=3, φ =120176。 C31178。39。 有周期排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是晶體的主要特征。２。yx39。對(duì)稱心，對(duì)稱面都屬于第二類。在作為有限圖形的結(jié)晶多面體中，它只能具有宏觀對(duì)稱元素，而且必須至少有一共點(diǎn)。這就是晶體的３２個(gè)點(diǎn)群。 Cm179。 所以， OC 是 OA和 OB 相交在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的第三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，其作用等于 OA和 OB 兩個(gè)原始旋轉(zhuǎn)軸作用之積。 En,E2=En179。 同時(shí)， cos2? = cos290176。 證明同定理三。,δ=0176。 Cn=Cq，當(dāng) m= ??360 ， n=??360， q= ??360 時(shí)，有 cos 2? = cos 2? cos 2? － sin 2? sin 2? cos? 定理二 C2179。 C2(⊥ )=Sn179。 設(shè) OA， OB 之間夾角為 δ n，則 OC 和 OB 之間的交角也應(yīng)為 δ n， △ ABC 為等腰三角形，所以 ∠ OBC=90－ 2n? 。 代入（２ .２）式，得 α n 和 δ n 的關(guān)系式： δ＝ 0176。 ， 120176。 28’ 90 0 90 90 70176。 參見(jiàn)圖 。 ， 90176。 15’52” 相交。 m=3 90176。44’08” 90(n=2,4) 45 54176。 sin60176。由于分子的兩個(gè) 2 是非獨(dú)立的，可以省略，所以也可以寫(xiě)成 4/mmm。 E=E179。 C３ ２ ）179。相交不產(chǎn)生新群。 C2(30176。 sin260176。 C3(δ) 應(yīng)有３個(gè) C3,連同原來(lái)的一個(gè) C3， 共有四個(gè) C3。 C3(70176。cos54176。相交，結(jié)果與（１０）相同，也是得到 O432。 （１） 用反軸置換旋轉(zhuǎn)軸 1— → 1 {1 ,E} Ci1 2— → 2 =m { m,E} Csm 3— → 3 {C3,i,E} C3i3 4— → 4 {S4,E} S44 6— → 6 {S3,E} C3h6 23— → Thm3(m2 3 ) {3C2, 4C3, 3m,i}={3S2, 4S3, 3C2} 因?yàn)?m+3 中的 i，必產(chǎn)生２，又因２和３不重合，所以必產(chǎn)生３個(gè)２，并和三個(gè) m垂直 47 （２） 用 m（即 S2）置換 222,32,42,62,432中的 2 222— → C2vmm2，只置換三個(gè)２中的兩個(gè)，其原始的組合，乃是兩個(gè) C2 相互正交的組合，對(duì)稱元素｛ C2,2m｝ 32— → C3v3m， {C3,3m} 422— → C4v4mm， {C4,4m} 622— → C6v6mm， {C6,6m} 432— → Ohm3m， (m4 3 m2 )， { E,8C3,3C2 ,6C2,6C4,i,8S6,3mh,3md,6S4} 這里，對(duì)稱元素 6C２ ， 9m， i的產(chǎn)生是因?yàn)椋涸鹊牧鶄€(gè) C2被置換成 m后， C4+C3組合的結(jié)果仍要產(chǎn)生６個(gè)新的 C2,這６個(gè) C2和６個(gè) m方向一致，即 C2⊥m ，于是有 i產(chǎn)生，而 i＋ C4得垂直于 C4的 m(三個(gè) )，所以有 6C２ ， 9m， i （３） 同時(shí)置換全部軸 222— → C2vmm2 前面已討論過(guò) 32— → D3d3 m(或 3 m2 ) ｛ C3,3C2,3m,i｝ ={S3,3S2,3C2} 422— → D2d4 2m, {S4,2C2,2m} 622— → D3h6 m2, {S6,3C2,4m} 48 432— → Td4 3m, {3S4,4C3,6m}, 4,3 不能同時(shí)置換，因?yàn)?4 ， 3 不能同時(shí)存在。 2． 6 對(duì)稱性類型 （１） 勞埃群，具有對(duì)稱心的點(diǎn)群，共１１個(gè)。一切選軸都是按右手定則，直立方向都定為主軸。 在點(diǎn)群符號(hào)中，第一字符表示主軸，即 c軸，第二字符表示 a 軸，（ b 和 a 等效） , 第三字符表示對(duì)角線方向，即 a＋ b。按巴克爾統(tǒng)一定向規(guī)則，應(yīng)取 bac 如果這種取法與空間群的對(duì)稱要求發(fā)生矛盾時(shí)，以空間群的對(duì)稱要求為標(biāo)準(zhǔn)。 之間，如果不符合此巴克爾統(tǒng)一定向規(guī)則，