【正文】 ??????100010001 ，就是恒等操作 E 的矩陣表示 ２． 2． 2 對稱中心， ?1 ，對稱中心操作也稱倒反或反演操作 一個假設的定點 i， i點的一側(cè)有一圖形，而在 i點 的相反一側(cè)也有一個對映的圖 形，則點 i是對稱心。 對稱元素及其矩陣表示 矩陣常用來表示點或點的集合在空間的變換。 C=A179。一套元素的集合，其中任意兩個元素組合后產(chǎn)生一個新元素，這個新元素必須包含在這一套元素的集合中 （ 2） 對稱操作具有締合律。我們用 φ (r)來描述一個幾何圖形（或一個實體），經(jīng) T 變換后， φ (r)變?yōu)?φ (Tr)。 N階的對稱圖形必有 N 個周圍相同的部分，即有 N 個等效點。這種操作不能改變圖形中任 意兩點的距離。 晶體從外形到微觀的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，都表現(xiàn)出一定的對稱性。２．１ 對稱、群、及極射赤平投影 ２．１．１ 對稱 晶體是由原子（或離子，分子）在空間周期地排列構(gòu)成的。在晶體中，質(zhì)點的排列具有三維空間的周期性。晶體的點陣結(jié)構(gòu)和對稱性，是晶體的重要屬性。這種能使對稱圖形復原的每一種操作，都叫做 對稱操作 。 下面我們用數(shù)學的方法來討論。如果 φ (r) ≡φ (Tr)，則稱 T 為一個對稱操作。比如 A,B,C 三個元素，179。 (B179。幾何晶體學就是研究晶體中的對稱關(guān)系，抽象為一些點的集合。圖 為在大圓中心的一個點。對稱面可能垂直坐標系的任一軸，所以對稱面的矩陣表示有 三種形式： m[1 0 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 x軸 m[0 1 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 y 軸 26 m[0 0 1]＝??????????100010001 對稱面垂直 z 軸 坐標為（ x,y,z）受到 m 作用后，得到另一個點： m[100] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[010] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[001] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx 行 列式100010001=100010001 =100010001 =－ 1 對稱面的階： m,m2=E， 2 階 矢量 r， 坐標為（ x,y,z），通過 ? (xy)平面上的對稱面操作 (對稱面躺在 xy 平面上 )，得到r’： r=xa1+ya2+za3 r’=xa1+ya2za3 注意：點（ x,y,z）受到 m 作用后得到的是它的對映點。表示對映點。 ２．２． 4 轉(zhuǎn)動（或稱旋轉(zhuǎn)）操作 Cn 若轉(zhuǎn)動是繞 z 軸進行，則轉(zhuǎn)動的結(jié)果，點的 z 坐標不變。 旋轉(zhuǎn)角 θ如何定義呢？ θ =n?360 旋轉(zhuǎn)角等于n?360的 旋轉(zhuǎn)軸稱為 n 次旋轉(zhuǎn)軸或 n 次轉(zhuǎn)動軸，記為 Cn。 如果轉(zhuǎn)動軸不在 x,y,z 軸上，轉(zhuǎn)動矩陣怎么表示 呢？大致做法是： （ 1） 繞 z 軸轉(zhuǎn)過－ θ，使 Cn軸躺在 xz 平面上 （ 2） 繞 y軸轉(zhuǎn)過 90176。 行列式等于－ 1的對稱操作如對稱心和對稱面，將產(chǎn)生它的對映像，而行列式等于 +1 的對稱操作如一切純旋轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生對映像。 C2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 = ??????????100010001 例 2． C4， n=4， φ =90176。 讓 C3 軸作為 z 軸，垂直于 x,y 軸， x， y 軸 的夾角為 120176。 C31=??????????100011010??????????100011010=??????????100001011=C31 第三次旋轉(zhuǎn)， C3３ = C31 178。點 P(xyz)經(jīng) C3一次旋轉(zhuǎn)后， 得到 P’(yzx)，第二次操作后，得到 P”(zxy)。 ， 變換矩陣為??????????001100010 二次旋轉(zhuǎn)，????????yzxyzx ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010 ＝??????????010001100 三次旋轉(zhuǎn)，????????zzyyxx39。 ， C2與 y 軸重合 然后完成 C2的轉(zhuǎn)動，再繞 z 轉(zhuǎn)回 45176。 = 22 代入上式，得 31 C2(110)=??????????100001010 現(xiàn)在我們來證明，晶體中只存在 C1， C2， C3， C4， C6， 不存在 C5的問題。在 N2 點進行一次 Cn 旋轉(zhuǎn)對稱操作，旋轉(zhuǎn)角 φ =360176。１，177。 2． 2． 5 旋轉(zhuǎn)反伸軸（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ），或稱旋轉(zhuǎn)倒反，反軸，記為 In 這是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對稱操作。xy39。即先轉(zhuǎn)動再反映，或先反映再轉(zhuǎn)動。 上面介紹的四種對稱元素 可分為兩類： 第一類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)軸，也稱真軸，記為 Cn 第二類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸，也稱非真軸，反軸，記為 In。 ３，４，６次旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸統(tǒng)稱高次軸。 至少相交于一點的宏觀對稱元素所構(gòu)成的群，叫點群。數(shù)學上對稱元素的組合可以有無窮多方式，而在晶體中，它們的組合卻不能是任意的，而是要受到周期排列的點陣結(jié)構(gòu)的限制。 由于這些限制，晶體中所可能有的對 稱元素組合方式不是無窮多，而是只有３２種。新的對稱元素的作用等于原來兩個對稱元素連續(xù)作用的積。 2．３．１．１ 定理一． Euler（歐 拉）定理 通過任意二相交旋轉(zhuǎn)軸的交點， 必可找到第三個新的旋轉(zhuǎn)軸，其作用 等于前二者之積；其軸次及其與原始 旋轉(zhuǎn)軸之間的交角，取決于二原始旋 轉(zhuǎn)軸的軸次及它們之間的交角。假定它所處的位置剛好滿足 如下要求：當 OB順時針旋轉(zhuǎn) β 角時， OC被帶到 OC’ 。但是 = = 37 因而 OB→ OB’ 這一移動可以由以 OC為軸，旋轉(zhuǎn) ω 角來完成。這實質(zhì)上是因為，兩個對稱元素 Em 和 En相乘時，一般是不能交換的。若 E1=Em179。 推理： m次軸和 n次軸相交，必得 m個 n次軸， n個 m次軸，且二相臨的 m次軸與 n次軸之間的交角均等于原始的二軸之間的交角。 根據(jù)歐拉定理，有 cosγ ’=cosγ ”=2s in90s in2c o s90c o s90c o s?????? =0 ∴γ ’=γ”=90176。 定理三。cosα=cosβ cosγ +sinβsinγcosA 38 正旋轉(zhuǎn)軸 推理 若對稱面上有一個 n次軸，則必有 n個對稱面交于 次軸，且相臨二對稱面的交角是 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半 定理四 通過二次軸和對稱面的交點，并垂直該二次軸的直 線，必為一個反軸，其基轉(zhuǎn)角是二次軸和對稱面交角的兩倍。如 3 179。 證明：對稱面的法線即二次反軸，按條件，就是二次軸和二次反軸重合， α =β=180176。cos0176。 對稱元素的組合定理簡要歸納如下： 定理一 Cm179。 m(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。 m(∥ ) → Sn， n個 C2， n個 m（ n為 奇數(shù)） Sn179。 m(⊥ ) → Cn， m， i (n=偶數(shù) ) 推理二 Cn179。顯然， OA =OB =OC =OD ，即 C， D 也是點陣點，而且 AD ＝ AB ＝ BC ，這樣， A，B， C， D 四點共面。 AB (N 為整數(shù) ) ＝（ 1－ 2cosδ） AB 40 ∴ cosδ ＝21 N?＝2M 可見，δ的可能值只有 0176。 ， 180176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 22 ??（２ .３） δ＝ 120176。 ， 90176。 n=2 120176。 n=1 0 180 180 180 180 任意值 60 120 109176。 32’ ， 60176。OB 繞 OA轉(zhuǎn)過 α m后得 OB’，則 OB 和 OB’必為同種軸，其交角為 δ n。 一切可能的組合方式綜合于下： １． 同次軸以０ 176。 ， 60176。 ６． 三 次軸與二次軸以 54176。 ８． 三次軸與二次軸以 35176。相交。 m=2 120176。 m=1 0(n=2,3,4,6) 0 0 0 0 0 60(n=2) 30 109176。 48’37” 54176。 48’37” 相交，將衍生出 72176。 sin60176。 1 旋轉(zhuǎn)群， Cyclic group 2 雙面群， Dihedral group 3 Vertical 4 Horigontal 42 Sn n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸 5 T 四面體 6 O 八面體 7 d 下標，對角方向的對稱面 8 （２） 國際符號 對稱元素： 1， 2， 3， 4， 6， 1 ， m， 3 ， 4 ， 6 在不同晶系里，對稱元素書寫的順序和位置，是由不同的方向來定義的，而且只需寫出它們的獨立對稱元 素，所有非獨立的對稱元素都被省略了。 三方、六方：第一字符表示主軸，如 3， 3 ， 6， 6 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 d 方向， [1 1 0]或 d 軸 第三字符表示 [2a+b]方向，即 [210]方向 立 方：第一字符表示 c 主軸， [001] 第二字符表示體對角線 [111]方向 第三字符表示面對角線 [110]方向 每個方向的符號表示與該方向一致的對稱軸或與該方向垂直的對稱面，如果二者都存在，則寫成分數(shù)形式，如 m4 m2 m2 。我們從群的四條件來看它們是否成群。 E= C2 閉合性 ② C2179。 C2＝ C2 存在幺元 ④ C2179。 C３ ３ ） = （ C３ １ 179。 C３ １ ＝ C３ １ 存在幺元 ④ C３ １ 179。 C４ 3＝ E 上述操作過程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C４ １ 和 C４ ３ 互逆， C４ ２ 自逆 （５） C6－ 6， {C6１ ， C6２ ＝ C３ １ ， C6３ ＝ C2， C64=C32， C65， C66=E，六個對稱元素 } 44 C6１ ＝??????????100001011 C6２ ＝??????????100001011??????????100001011 ＝??????????100011010 =C31 C63＝??????????100001011??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ C2 C64＝??????????100001011??????????100010001 =??????????100001011 ＝ C３２ C6５ ＝??????????100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100001011 ＝??????????100011010 ＝ C６－１ C6６ ＝?????????