【正文】 轉(zhuǎn)到 OC’；再轉(zhuǎn)動(dòng) OA， OC’又轉(zhuǎn)回到 OC，而且 OB 被轉(zhuǎn)到 OB’。 En≠ En179。通過(guò)兩個(gè)二次軸的交點(diǎn)并與它們垂直的直線恒 為一旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角是原來(lái)兩個(gè)二次軸交角的兩倍。 證明：對(duì)稱(chēng)面是二次反伸軸，給定條件與定理二相同，所 以其證明也相同。２ ⊥ ＝ D2d4 2m 以上兩種情況，相臨二次軸和對(duì)稱(chēng)面的交角等于 n次反軸基轉(zhuǎn)角之半的余角，即 90176。 ∵一正一反得反，一次反軸即對(duì)稱(chēng)心 推理一 偶次軸，垂直的對(duì)稱(chēng)面，對(duì)稱(chēng)心，三者之中 任意二者的組合必得第三者（但 i179。 C2(δ )=Sn （ n=)90(2 360???） 推理 Sn179。 i → Cn， m， i (C2⊥m) 167。 ， 90176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 1 OA， OB 的基轉(zhuǎn)角是 α n，只可能有 0176。 n=4 60176。 二．兩個(gè)任意軸之間的可能交角 設(shè) OA， OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個(gè)任意軸，交角 γ 。 ２． 二次軸重合三，四，六次軸 三次軸重合六次軸 ３． 二次軸與二次軸以 30176。 ７． 三次軸與四次軸以 54176。 以上所說(shuō)的軸包括旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸。 31’44” (n=3) 35176。 2． 4 點(diǎn)群符號(hào) （１） Scho? nflies 符號(hào) Cn n 次旋轉(zhuǎn)軸 1 Dn n 次旋轉(zhuǎn)軸，并在垂直方向上有二次軸 2 Cnv n 次旋轉(zhuǎn)軸，加上鉛直的對(duì)稱(chēng)面，即平行于主軸的對(duì)稱(chēng)面 3 Cnh n次旋轉(zhuǎn)軸，加上水平的對(duì)稱(chēng)面，以主軸的為鉛直方向，則水平方向的面即垂直主軸的面 4 ＊ cos2? = cos 2? cos 2? － sin 2? sin 2? cosδ = cos60176。 四方：第一字符表示主軸，如 4， 4 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 a 或 b 方向 第三字符表示 ab的對(duì)角方向，如 4 2m， 4 是主軸， c方向， 2 表示 a 或 b方向的二次軸， m 表示對(duì)角方向的對(duì)稱(chēng)面。E ＝ E 締合律 ③ E 本身是幺元 ④ E179。 C３ ２ ＝??????????100011010??????????100001011 ＝??????????100010001 ＝ C３３ ＝ E 閉合性 ② C３ １ 179。 C４ １ ＝ C2＝??????????100010001 C４ 3＝ C４ １ 179。)= D3－ 32， {C3,３ C2}10 C2179。 （８） C3179。44’08” 。 （９） C3179。cos45176。 與四次軸交角 組合后，全部對(duì)稱(chēng)元素有３個(gè) C4， 4 個(gè) C3， 6 個(gè) C2（６組對(duì)棱中點(diǎn)的連線），其中３個(gè)C4相互正交，取為主軸，記為 O432. （ １１） C3與 C2以 35176。就是說(shuō)，可以是單純的旋轉(zhuǎn)軸，也可以是單純反軸 ，也可以是混合軸。我們?cè)谝陨蠈?dǎo)出的 26 個(gè)點(diǎn)群中加上 i，即可導(dǎo)出剩余的全部點(diǎn)群。 表 十一個(gè)旋轉(zhuǎn)群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 C１ １ C２ 2 D2222 C44 D4422 C33 D332 C66 D6622 T23 O432 167。兩個(gè)與四次軸垂直的，而且它們之間相互正交的二次軸為 a， b 軸，在水平面上。 例如： D2222,分別以三個(gè) C2 為 a,b,c D２ hmmm,分別以三個(gè) S1為 a,b,c C２ vmm2,以２為 c 軸， m 分別為 a,b 在點(diǎn)群符號(hào)中，第一字符表示 a 軸，第二字符表 示 b 軸，第三字符 c 軸。９０176。＜γ＜１２０176。 52 再如： D4h4/mmm 4 是 c 軸 頭一個(gè) m 垂直 c 軸 第二個(gè) m 垂直 a,b 軸 第三個(gè) m 是平分 a∧ b 角。 在點(diǎn)群符號(hào)中，第一字符表示主軸，即 a， b， c，第二字符表示體對(duì)角線，即 a＋ b＋ c, 第三字符表示面對(duì)角線，即 a＋ b， b＋ c， c＋ a。 表 十一個(gè)勞埃群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 Ci1 C２ h2/m D2hmmm C4h4/m D4h4/mmm C3i3 D3d3 m C6h6/m D6h6/mmm Thm3 Ohm3m （２） 異極對(duì)稱(chēng)型 不具對(duì)稱(chēng)心的 21 個(gè)點(diǎn)群屬異極對(duì)稱(chēng)型，其特點(diǎn)是至少具有一個(gè)極軸，其兩端不能借助對(duì)稱(chēng)操作互相重合，因此其性質(zhì)顯示出極性來(lái)。如果一次軸是 C1，則不產(chǎn)生任何新元素。 至此，僅含旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群有 C11， C22， C33， C44， C66， D2222， D332， D4422，D6622， T23， O432，共１１個(gè)旋轉(zhuǎn)群，已全部推出。 15’52” 與三次軸交角 12 n=302360? =6 13 Cn179。C ４ (δ), δ=54176。以這三個(gè) C2為主軸，三軸相等，是立方的。 cosγ= ?? ???? 90s in60s in 90c os60c os60c os =31 所以，γ =54176。 C2(⊥)=D ４ 422， {C4,4C2} C6179。 C2(⊥)= D2－ 222， {３ C2}9 C2179。 C３ １ ＝ C３ １ 存在幺元 ④ C３ １ 179。 C2＝ C2 存在幺元 ④ C2179。我們從群的四條件來(lái)看它們是否成群。 1 旋轉(zhuǎn)群， Cyclic group 2 雙面群， Dihedral group 3 Vertical 4 Horigontal 42 Sn n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸 5 T 四面體 6 O 八面體 7 d 下標(biāo)，對(duì)角方向的對(duì)稱(chēng)面 8 （２） 國(guó)際符號(hào) 對(duì)稱(chēng)元素： 1， 2， 3， 4， 6， 1 ， m， 3 ， 4 ， 6 在不同晶系里，對(duì)稱(chēng)元素書(shū)寫(xiě)的順序和位置，是由不同的方向來(lái)定義的，而且只需寫(xiě)出它們的獨(dú)立對(duì)稱(chēng)元 素，所有非獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)元素都被省略了。 48’37” 相交，將衍生出 72176。 m=1 0(n=2,3,4,6) 0 0 0 0 0 60(n=2) 30 109176。相交。 ６． 三 次軸與二次軸以 54176。 一切可能的組合方式綜合于下： １． 同次軸以０ 176。 32’ ， 60176。 n=2 120176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 22 ??（２ .３） δ＝ 120176。 AB (N 為整數(shù) ) ＝（ 1－ 2cosδ） AB 40 ∴ cosδ ＝21 N?＝2M 可見(jiàn)，δ的可能值只有 0176。 m(⊥ ) → Cn， m， i (n=偶數(shù) ) 推理二 Cn179。 m(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。cos0176。如 3 179。 定理三。 推理： m次軸和 n次軸相交，必得 m個(gè) n次軸， n個(gè) m次軸，且二相臨的 m次軸與 n次軸之間的交角均等于原始的二軸之間的交角。這實(shí)質(zhì)上是因?yàn)?，兩個(gè)對(duì)稱(chēng)元素 Em 和 En相乘時(shí)，一般是不能交換的。假定它所處的位置剛好滿足 如下要求：當(dāng) OB順時(shí)針旋轉(zhuǎn) β 角時(shí)， OC被帶到 OC’ 。新的對(duì)稱(chēng)元素的作用等于原來(lái)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)元素連續(xù)作用的積。數(shù)學(xué)上對(duì)稱(chēng)元素的組合可以有無(wú)窮多方式，而在晶體中，它們的組合卻不能是任意的，而是要受到周期排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的限制。 ３，４，６次旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸統(tǒng)稱(chēng)高次軸。即先轉(zhuǎn)動(dòng)再反映，或先反映再轉(zhuǎn)動(dòng)。 2． 2． 5 旋轉(zhuǎn)反伸軸（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ），或稱(chēng)旋轉(zhuǎn)倒反，反軸，記為 In 這是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對(duì)稱(chēng)操作。在 N2 點(diǎn)進(jìn)行一次 Cn 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作，旋轉(zhuǎn)角 φ =360176。 ， C2與 y 軸重合 然后完成 C2的轉(zhuǎn)動(dòng)，再繞 z 轉(zhuǎn)回 45176。點(diǎn) P(xyz)經(jīng) C3一次旋轉(zhuǎn)后， 得到 P’(yzx)，第二次操作后，得到 P”(zxy)。 讓 C3 軸作為 z 軸，垂直于 x,y 軸， x， y 軸 的夾角為 120176。 行列式等于－ 1的對(duì)稱(chēng)操作如對(duì)稱(chēng)心和對(duì)稱(chēng)面，將產(chǎn)生它的對(duì)映像，而行列式等于 +1 的對(duì)稱(chēng)操作如一切純旋轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生對(duì)映像。 旋轉(zhuǎn)角 θ如何定義呢？ θ =n?360 旋轉(zhuǎn)角等于n?360的 旋轉(zhuǎn)軸稱(chēng)為 n 次旋轉(zhuǎn)軸或 n 次轉(zhuǎn)動(dòng)軸，記為 Cn。表示對(duì)映點(diǎn)。圖 為在大圓中心的一個(gè)點(diǎn)。 (B179。如果 φ (r) ≡φ (Tr)，則稱(chēng) T 為一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。這種能使對(duì)稱(chēng)圖形復(fù)原的每一種操作，都叫做 對(duì)稱(chēng)操作 。在晶體中，質(zhì)點(diǎn)的排列具有三維空間的周期性。 晶體從外形到微觀的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，都表現(xiàn)出一定的對(duì)稱(chēng)性。 N階的對(duì)稱(chēng)圖形必有 N 個(gè)周?chē)嗤牟糠郑从?N 個(gè)等效點(diǎn)。一套元素的集合，其中任意兩個(gè)元素組合后產(chǎn)生一個(gè)新元素，這個(gè)新元素必須包含在這一套元素的集合中 （ 2） 對(duì)稱(chēng)操作具有締合律。 對(duì)稱(chēng)元素及其矩陣表示 矩陣常用來(lái)表示點(diǎn)或點(diǎn)的集合在空間的變換。 矩陣表示： i＝??????????100010001 行列式100010001=－ 1 ),(),( zyxzyx i ???? ?? ２．２．３對(duì)稱(chēng)面操作 m，鏡面，反映 一個(gè)假想的平面，平面的兩側(cè)是兩個(gè)互呈鏡像而又不能疊合的對(duì)映圖形，這假想平面叫對(duì)稱(chēng)面，或鏡面。 27 )()( ]1 0 0[ yzxxyz m ?? ?? m[100]= ??????????100010001 )()( ]0 1 0[ zyxxyz m ?? ?? m[010]= ??????????100010001 )()( ]101[ yxzxyz m ?? ?? m[1 10]= ??????????100001010 )()( ]1 1 0[ zxyxyz m ?? ?? m[110]= ??????????100001010 如果用一個(gè)沿著 Z軸的 C4來(lái)對(duì) m[100]進(jìn)行變換，或用矩陣相乘的方法，也可以得到上述四個(gè) m 的矩陣表示。旋轉(zhuǎn)軸的階： Cn? Cnn=E， n 次軸即 n 階。 29 例 1． N=2， θ =2360?=180176。點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于坐 標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)： x’=－ y y’=x－ y ∴ C31=??????????100011010 如果順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， C3－ １ =??????????100001011 在 C31之后再做一次旋轉(zhuǎn)， C32= C31 178。39。 =sin45176。從圖 2． 13 中，我們可以看到， d=a－ 2a cosφ 由周期性的要求，應(yīng)有 d=ma，其中 m 必須為整數(shù) 所以， ma=a2a cosφ 2 cosφ =1m=M 因?yàn)椋? cosφ ?＋１，所以｜ M|? 2,M 的全部可能值只有０，177。 ，則 ????????zz39。群論中常用旋轉(zhuǎn)反映軸 Sn，比較少用旋轉(zhuǎn)反伸軸 In，雖然 Sn 不等于 In，二者是不同的對(duì)稱(chēng)操作，但它們都是對(duì)稱(chēng)元素。 2．３ 對(duì)稱(chēng)元素的組合 就數(shù)學(xué)上的意義而言，空間任意的對(duì)稱(chēng)變換就構(gòu)成了所謂“群”，對(duì)稱(chēng)操作的集合叫做 36 對(duì)稱(chēng)操作群，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)元素的集合叫對(duì)稱(chēng)元素群，二者概稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)群。 （３） 對(duì)稱(chēng)元素的組合必須遵循對(duì)稱(chēng)元素組合定理。 167。經(jīng)過(guò) OA和 OB 連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果， OC 保持原位不動(dòng)，只有 OB 轉(zhuǎn)到 OB’。 Em。 證明：給定條件為α =β=180176。因反伸兩次，反反得正，所以必為一個(gè) ［１］ 證明請(qǐng)參考南京大學(xué)“結(jié)晶學(xué)”下冊(cè)，第 515 頁(yè) 球面三角公式： cosA=cosBcosC+sinBsinCcosα 。 n2360? 定理