【正文】 多用在自變量非隨機的 場合，因此，不能象 ① 中那樣反轉(zhuǎn)過去做。事實上，在這種場合下，控制問題的性質(zhì)與預測問題很不一樣 : 在前者，ｘ雖然未知，但是是１個非隨機的變量，取確定的數(shù)；在后者，預測對象ｙ卻是隨機變量。 處理的方法是 :作為ｘ的點估計 ,仍沿用已求得的 直線回歸 方程 y^=a+bx 解出 x^0=(y0a)/b，但應重新推導出與上面２式類似的公式，以便直接運用。 于是， x0 的 近似 100(1α) ％ 容許區(qū)間 按式 ()、 ()計算。脹僅了對自變量ｘ進行控制 (或校準 )的問題。 ),?,?( 00 ?)2(0?)2(0 XnXn StXStX ?? ?? ?? () XXXYX lb YYnnbSS 2 20 )0(110???? () 在上２式中， y0是根據(jù) n0次觀測得到的 y的 均數(shù) ，當 y0 為理論值時， n0=∞ ；當 y0為１次觀測結(jié)果時， n0＝１。 ４． 直線相關(guān) 與回歸分析的應用 [例 ] 給 10 只中年大鼠注射內(nèi)毒素 (30mg／ kg)后， 測得每只大鼠的紅細胞含量 x(104/mm3) 與血紅蛋白含量 y(g/L)分別如下，試對 x， y 兩變量進行線性相關(guān)和回 歸分析 (設(shè) x為自變量， y 為因變量 )。 鼠號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 654 786 667 605 761 642 652 706 602 539 y 130 168 143 130 158 129 151 153 149 109 [分析與解答 ] (1)先介紹用統(tǒng)計公式逐一計算的方法 ① 繪出 10 對數(shù)據(jù)的散布圖 (此處從略 ,參見后面 SAS 輸出結(jié)果部分 )，發(fā)現(xiàn)各散點呈一直線變化趨勢，表明值得進行 直線相關(guān) 和回歸分析 。 ② 按式 ()～ ()和式 ()、 ()計算，得 lxx=， lyy=2730 lxy=9886 r=， x=， y=， b=， a= 于是，求得相關(guān)系數(shù) r=， y倚 x變化的 直線回歸 方程為： y^=+ ③ 按式 ()、 ()對相關(guān)系數(shù) (同時也等價于對回歸方程的斜率 )進行顯著性檢驗 H0: ρ=0。 H 1: ρ≠0。 α= 。 Sr= tr=， df=8 按 df=8查 t臨界值表，得 (8)=，因 tr=(8)=，即 P，在 α= 水準上拒絕 H0，接受 H1。 用查表法實現(xiàn)上述檢驗的方法是： 查相關(guān)系數(shù)臨界值表，找到 df=8 所對應的那一行，看 r= 在某２個相鄰的數(shù)之間，與此二值對應的表頭上的小數(shù)就是 概率 P 值所在的范圍 (注意有單、雙側(cè)檢驗之分 )。 因 (8)=r=(8)=，所以 P(雙側(cè)檢驗 )， P(單側(cè)檢驗 )。 (注 ∶ 若事先就有充分的理由認為：ｘ與ｙ之間只可能是正 (或負 )相關(guān)關(guān)系，則宜選用單側(cè)檢驗 。若理由并不十分充足，則宜選用雙側(cè)檢驗 )。 ④ 同理，可用式 ()、 ()對 總體 截距作顯著性檢驗，若差別不顯著，可認為所求的 直線回歸 方程通過坐標原點 (0， 0)； ⑤ 如果需要，還可按式 ()～ ()進行區(qū)間估計 (從略 )。 [專業(yè)結(jié)論 ] 因 r=0，故可以認為ｘ與ｙ之間呈非常顯著的正相關(guān)關(guān)系，也即所求得的 直線回歸 方程成立。 [說明 ] 適 于進行 直線相關(guān) 和回歸分析的資料類型為 定量資料 。當運用求得的 直線回歸 方程去對因變量的取值進行預報時，自變量的取值最好不要超出原試驗數(shù)據(jù)的變化范圍 。 檢查 直線回歸 方程的計算是否有錯的簡便方法 :所求的直線應通過 (x， y)這一點，即將 x 代入方程，應得 y^≈y 。 (2)最后介紹用 SAS 軟件實現(xiàn)統(tǒng)計計算和檢驗的方法 [SAS 程序 ]──[] DATA abc。 PROC PLOT。 INPUT x y。 PLOT y*x=39。s39。 CARDS。 RUN。 654 130 PROC CORR。 786 168 VAR x y。 667 143 RUN。 605 130 PROC REG。 761 158 MODEL y=x / R CLI CLM。 642 129 PLOT (U95. L95. P.)*x=39。39。 652 151 y*x=39。o39。 / OVERLAY。 706 153 OUTPUT OUT=aaa P=yhat R=yresid。 602 149 RUN。 539 109 PROC PLOT DATA=aaa。 。 PLOT yresid*yhat=39。R39。 OPTIONS LS=64 PS=20。 RUN。 (程序的第１部分 ) (程序的第２部分 ) [程序修改指導 ] OPTIONS 語句規(guī)定輸出時每行最多 64個字符，每頁最多20行，目的是使輸出的圖形小一些；第１次調(diào)用 PLOT 過程是為了繪原始數(shù)據(jù)的散布圖，以便了解是否適合作 直線相關(guān) 和回歸分析，每１對數(shù)據(jù)用１個 “ ｓ ” 表示出來；第２個過程步是調(diào)用 CORR 過程作相關(guān)分析；第３個過程步是 調(diào)用 REG過程進行 直線回歸 分析，在 MODEL 語句中，因變量放在等號左邊，右邊各選擇項的含義是 :R(作殘差分析，同時給出因變量的預測值 )、 CLI(給出各自變量所對應的因變量的 95％ 容許區(qū)間 的下限與上 限值 )、 CLM( 給出各自變量所對應的因變量預測值 (均數(shù) )的 95％ 置信區(qū)間 的下限與上限值 )， 緊接此語句之后的 PLOT 語句第１部分要求以ｘ為橫軸，縱軸分別為 U95(上限值 )、 L95(下限值 )、 P(因變量的預測值 )，均用 “ ” 表示，將繪出回歸直線的置信帶；同時用 “o” 表示原始數(shù)據(jù)點， OVERLAY 要求將自變量相同因變量取幾組不同值的圖繪在同１個坐標系內(nèi)； OUTPUT 語句產(chǎn)生１個輸出數(shù)據(jù)集 AAA，內(nèi)含 (ｘ ,ｙ )原始數(shù)據(jù)和ｙ的預測值 yhat(即 y^)、殘差 yresid=yy^；最后調(diào)用 PLOT 過程繪殘差圖，把殘差放在縱軸上、ｙ的預測值放在橫軸上。 [輸出結(jié)果及其解釋 ] Plot of Y*X. Symbol used is 39。s39。. 200 + | Y | | s | s 150 + s s s | s | s s s | | s 100 + +++++++ 500 550 600 650 700 750 800 X 這是原始數(shù)據(jù)的散布圖，不存在某種明顯的曲線趨勢，各點在１條不太寬的帶內(nèi)隨機地著，而且，２變量都是隨機變量，故可以繼續(xù)作 直線相關(guān) 和回歸分析。 CORRELATION ANALYSIS 2 39。VAR39。 Variables: X Y Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum X 10 Y 10 Pearson Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 10 X Y X Y 這是相關(guān)分析過程給出的關(guān)于 均數(shù) 、 標準差 等的簡單統(tǒng)計量，皮爾遜(Pearson)相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗的 P值。因 r=， P=，說明２變量之間呈非常顯著的正相關(guān)關(guān)系。 Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value ProbF Model 1 Error 8 C Total 9 Root MSE Rsquare Dep Mean Adj Rsq . 這是回歸過程給出的關(guān)于所擬合的 直線回歸 方程是否顯著的檢驗結(jié)果，這里使用的檢驗方法是 方差分析 ，它與前面講的關(guān)于 ρ 和 β 的檢驗是等價的。對應的 F=， P=，說明 直線回歸 方程是非常顯著的 ,此方程的精確度可用剩余 標準差 來度量，即 =。 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob |T| INTERCEP 1 X 1 這是關(guān)于 總體 截距和 總體 斜率的參數(shù)估計及其顯著性檢驗結(jié)果， α ＾=a=， α 與０的差別不顯著 (P=)，應不要截距重新擬合 直線回歸 方程 。β ＾ =b=， β 與０的差別非常顯著 (P=)。 Model: MODEL2 NOTE: No intercept in model. Rsquare is redefined. Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value ProbF Model 1 Error 9 U Total 10 Root MSE Rsquare Dep Mean Adj Rsq . 這是關(guān)于不含截距項的 直線回歸 方程是否顯著的檢驗結(jié)果 ,F=，P，說明 直線回歸 方程是非常顯著的，方程的精確度為 =。 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob |T| X 1 通過坐標原點的 直線回歸 方程為 : y^=， β 與０的差別非常顯著(P)。從統(tǒng)計學角度看 ,此 直線回歸 方程是成立的。至于此方程是否確有意義 ,仍需結(jié)合專業(yè)知識，尤其是要注意由方程推算出來的預測值在專業(yè)上是否成立。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ Dep Var Predict Std Err Lower95% Upper95% Lower95% Upper95% Obs Y Value Predict Mean Mean Predict Predict 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 ① 因變量的觀 測值、 ② 用不含截距項的 直線回歸 方程推算出來的因變量的預測值、 ③ 預測值的標準 誤差 、 ④ 與 ⑤ 是各點 y^(均數(shù) )的 95％置信限的下限與上限、 ⑥ 與 ⑦ 是各點ｙ值的 95％容許限的下限與上限。若以 (x， ④) 、 (x， ⑤) 繪圖，并將回歸直線同側(cè)的點分別連接在一起，就是反映回歸線波動的 95％置信帶 。以 (x， ⑥) 、 (x， ⑦) 繪圖，同理， 可得反映各點上 y 值的波動范圍的 95％容許帶。 ① ② ③ ④ ⑤