【正文】 LM檢驗仍然有效。 LM檢驗原假設(shè)為：直到 p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在 p階自相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。 22 （ 1）估計回歸方程，并求出殘差 et () （ 2）檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到 () 這是對原始回歸因子 Xt 和直到 p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量： F統(tǒng)計量和 T R2統(tǒng)計量 。 F統(tǒng)計量是對式（ ）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗。 T R2統(tǒng)計量是 LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù) T 乘以回歸方程（ ）的 R2。一般情況下， T R2統(tǒng)計量服從漸進的 ? 2(p) 分布。 ktktttt xxxye ???? ???? 22110 ?????? ?tptpttt veee ????? ?? ??? ?11X23 在給定的顯著性水平下 ， 如果這兩個統(tǒng)計量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之 ， 如果這兩個統(tǒng)計量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 則說明序列存在序列相關(guān)性 。 在 EView軟件中的操作方法： 選擇 View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地對高階的 ， 含有 ARMA誤差項的情況執(zhí)行BreushGodfrey LM。 在滯后定義對話框 ， 輸入要檢驗序列的最高階數(shù) 。 24 LM統(tǒng)計量顯示，在 5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。 例 (續(xù) ) 序列相關(guān) LM檢驗 25 例 : 含滯后因變量的回歸方程擾動項序列相關(guān)的檢驗 考慮美國消費 CS 和 GDP及前期消費之間的關(guān)系 ， 數(shù)據(jù)期間： 1947年第 1季度～ 1995年第 1季度 ， 數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素 ， 建立如下線性回歸方程： t = 1, 2, ?, T 應(yīng)用最小二乘法得到的估計方程如下： t = (?) () () R2= .= ttt uGDPcCSccCS ???? ? 21t10tttt ..CS ?0509301510 1 ????? ?26 如果單純從顯著性水平 、 擬合優(yōu)度及 ，這個模型是一個很理想的模型 。 但是 ， 由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項 ， 那么 作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn) ， 如果殘差序列存在序列相關(guān) ， 那么 ， 顯著性水平 、 擬合優(yōu)度和 F統(tǒng)計量將不再可信 。 所以 ， 必須采取本節(jié)中介紹的其他檢驗序列相關(guān)的方法檢驗殘差序列的自相關(guān)性 。這里采用 LM 統(tǒng)計量進行檢驗 (p=2)， 得到結(jié)果如下 ： LM統(tǒng)計量顯示 ， 回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性 。 27 下面給出殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，相關(guān)圖如下： 本例 1～ 3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在 3階序列相關(guān)。各階滯后的 Q統(tǒng)計量的 P值都小于 5%，說明在 5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。 28 167。 擾動項存在序列相關(guān)的 線性回歸方程的估計與修正 線性回歸模型擾動項序列相關(guān)的存在 ， 會導(dǎo)致模型估計結(jié)果的失真 。 因此 ， 必須對擾動項序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述 ， 以期消除序列相關(guān)對模型估計結(jié)果帶來的不利影響 。 通?？梢杂?AR(p) 模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu) ， 定義如下： () () tktkttt uxxxy ?????? ???? ?22110tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?221129 其中： ut 是無條件擾動項 ， 它是回歸方程 （ ）的擾動項 ， 參數(shù) ?0， ?1， ?2， ?， ?k 是回歸模型的系數(shù) 。式 （ ） 是擾動項 ut的 p 階自回歸模型 ， 參數(shù) ?1， ?2，?， ?p 是 p 階自回歸模型的系數(shù) ， ?t 是無條件擾動項 ut自回歸模型的誤差項 ， 并且是均值為 0， 方差為常數(shù)的白噪聲序列 ， 它是因變量真實值和以解釋變量及以前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測值之差 。 下面將討論如何利用 AR(p) 模型修正擾動項的序列相關(guān) ， 以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知參數(shù) 。 30 1． 修正一階序列相關(guān) 最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸 AR(1)模型 。 為了便于理解 ， 先討論一元線性回歸模型 ， 并且具有一階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 1的情形： () () ttt uxy ??? 10 ??ttt uu ?? ?? ? 1把式 （ ） 帶入式 （ ） 中得到 () tttt uxy ???? ???? ? 11031 然而 ， 由式 （ ） 可得 () 再把式 （ ） 代入式 （ ） 中 ， 并整理 () 令 ， 代入式 （ ） 中有 () 如果已知 ? 的具體值 ， 可以直接使用 OLS方法進行估計 。如果 ? 的值未知 ， 通常可以采用 Gauss—Newton迭代法求解 ，同時得到 ? ， ? 0， ? 1的估計量 。 11011 ??? ??? ttt xyu ??ttttt xxyy ?????? ?????? ?? )()1( 11011*1* , ?? ???? tttttt xxxyyy ??ttt xy ???? ???? *10* )1(32 2． 修正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在 p階序列相關(guān) ， 誤差形式可以由 AR(p)過程給出 。 對于高階自回歸過程 ， 可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法 ， 把滯后誤差逐項代入 ， 最終得到一個誤差項為白噪聲序列 ， 參數(shù)為非線性的回歸方程 ， 并且采用 GaussNewton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù) 。 例如 ， 仍討論一元線性回歸模型 ， 并且擾動項序列具有 3階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 3的情形： 33 ttt uxy ??? 10 ??ttttt uuuu ???? ???? ??? 332211() () 按照上面處理 AR(1) 的方法 ， 把擾動項的滯后項代入原方程中去 ， 得到如下表達式： tttttttttxyxyxyxy??????????????????????????????)()()(31033210221101110() 通過一系列的化簡后 ， 仍然可以得到參數(shù)為非線性 ， 誤差項 ?t 為白噪聲序列的回歸方程 。 運用非線性最小二乘法 ，可以估計出回歸方程的未知參數(shù) ? 0 , ? 1 , ? 1 , ? 2 , ? 3。 34 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性形式為 f (xt , ? )的非線性模型， xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若擾動項序列存在 p階序列相關(guān)， () () 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項 ?t為白噪聲序列的非線性回歸方程 ， 以 p = 1為例 ， () 使用 GaussNewton算法來估計參數(shù) 。 ttt ufy ?? ),( βxtptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211ttttt ffyy ??? ???? ?? ),(),( 1111 βxβx35 3. 在 Eviews中的操作： 打開一個方程估計窗口 ， 輸入方程變量 ， 最后輸入ar(1) ar(2) ar(3)。 針對例 ： 36 需要注意的是 ， 輸入的 ar(1) ar(2) ar(3) 分別代表 3個滯后項的系數(shù) ， 因此 ， 如果我們認為擾動項僅僅在滯后 2階和滯后 4階存在自相關(guān) ， 其他滯后項不存在自相關(guān) ， 即 則估計時應(yīng)輸入： cs c gdp cs(1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時給予很大靈活性 ， 可以輸入模型中想包括的各個自回歸項 。 例如 ， 如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個單項來消除季節(jié)自回歸 ， 可以輸入： cs c gdp cs(1) ar(4)。 tttt uuu ??? ??? ?? 442237 例 用 AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) （ 1） 例 關(guān) 。 這里將采用 AR(1)模型來修正投資方程的自相關(guān)性： t = 1, 2, ?, T 回歸估計的結(jié)果如下： t = () （ ） t = ()