畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(已改無錯(cuò)字)
2023-02-18 06:51:13 本頁(yè)面
【正文】 (3) 令，給定，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足：，并且使得不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:（1）圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，的圖像與軸的交點(diǎn)由題意可得，即，所以（2）令，在時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，圖象的對(duì)稱軸，拋物線開口向上①當(dāng)即時(shí)， ②當(dāng)即時(shí)， ③當(dāng)即時(shí)，(3) ，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，0①當(dāng)，有，得，同理所以由的單調(diào)性知從而有，符合題設(shè)②當(dāng)時(shí)，，由的單調(diào)性知，所以，與題設(shè)不符③當(dāng)時(shí)，同理可得得，與題設(shè)不符綜上所述可得：分析：此題知識(shí)點(diǎn)全面，首先要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于函數(shù)中的方程，要分類討論充分利用不等式的性質(zhì)，對(duì)于復(fù)雜的在題目中反復(fù)用的未知數(shù)整體可用具體一個(gè)字母代替. 例9：已知，求的值.解析：首先觀察已知條件和所求式子，發(fā)現(xiàn)它們有一定的相似性，可設(shè)，那么，.那么函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為方程式，把所設(shè)代入三角函數(shù)式中得：，通過整理方程得：，故，其值都是等于1.看來，運(yùn)用方程思想，解題難度明顯降低了！函數(shù)方程的定義 、(1)代換法（或換元法）把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)（2）待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得（3）迭代法由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過n次迭代得到函數(shù)方程的解法（4）柯西法定理 若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足、則在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解 例10：設(shè)上是連續(xù)的且恒不等于0，求函數(shù)方程 (1) 的解. 解：由數(shù)學(xué)歸納法易知 特別，取，則可得 (2) 在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得 因?yàn)槲覀兗僭O(shè)不恒為0，所以 .在(2)式中，取，則可得(m為正整數(shù)) 在(1)式中，取，則可得 所以，對(duì)任意的有理數(shù)，. 又因有理數(shù)是實(shí)數(shù)的稠密子集，且上連續(xù)，所以 若，則 (3) 例11：設(shè)在正實(shí)數(shù)域上有定義，連續(xù)且不恒等于0，試求函數(shù)方程 (4) 的解. 解：由數(shù)學(xué)歸納法易知，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)； 特別，取時(shí)，可知 (5) 所以，由(4)式可知 . 因此，對(duì)于任意的， . 取定，對(duì)任意的，存在，使得； . 令 ，則. (6) 這是函數(shù)方程(＊)在整個(gè)正實(shí)數(shù)上連續(xù)時(shí)，唯一的解. 例12：設(shè)在實(shí)數(shù)上有定義，連續(xù)且不恒為0，求方程式 (7) 的解？ 解：任取，對(duì)任意的，存在 使得，(可取，) 將此代入(7)式可得 令，則 (8) 因?yàn)樵谏线B續(xù)上連續(xù). 故由例一可知，(8)有唯一的解 ，(是一個(gè)唯一固定的常數(shù))，. . 故，令，則 (9)【注】：如在例三中，不要求為連續(xù)函數(shù)，則解未必是唯一的. 例如函數(shù) (10) 不難看出它也是(7)的解.由此可見：方程思想在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)起著不可小視的作用, 其適用的范圍相較廣，別是在處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題時(shí), 幾乎可運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分, 這從前面列舉的各個(gè)例子中可以看到, 至于在解析幾何、立體幾何等不同數(shù)學(xué)分支中, 許多問題最終都是可以通過建立方程式, 運(yùn)用方程思想來解決. 近幾年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中, 經(jīng)常出現(xiàn)最值問題, 考慮到構(gòu)造方程, 利用方程思想是解決有關(guān)最值問題的良好途徑. 例13：已知實(shí)數(shù)滿足 求的最
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