【正文】 ． 由 橢 圓 第 二 定 義 知322 ??ePQPF，∴223PFPQ?，∴PQPAPFPA ??? 223 ，要使其和最小需有 A 、 P 、 Q 共線，即求 A 到右準(zhǔn)線距離．右準(zhǔn)線方程為 29?x ． ∴ A 到右準(zhǔn)線距離為 27 ．此時(shí) P 點(diǎn)縱坐標(biāo)與 A 點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為 1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn) P 坐標(biāo) )1,556( ． 說明： 求21 PFePA?的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過 A 向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段．巧用焦點(diǎn)半徑 2PF 與點(diǎn)準(zhǔn)距 PQ 互化是解決有關(guān)問題的重要手段． 典型例題十八 例 18 (1)寫出橢圓 149 22 ??yx 的參數(shù)方程； 28 / 41 (2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積． 分析： 本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題． 解： (1) ??? ?? ??sin2cos3yx )( R??． (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為 S ，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于 x 軸和 y 軸，設(shè))sin2,cos3( ?? 為矩形在第一象限的頂點(diǎn)， )20( ???? ， 則 122s i n12s i n2c o s34 ????? ???S 故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為 12． 說明： 通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便． 典型例題十九 例 19 已知 1F ， 2F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，且 ??? 6021PFF ． (1)求橢圓離心率的取值范圍； (2)求證 21FPF? 的面積與橢圓短軸長有關(guān)． 分析： 不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為 12222 ??byax （ 0??ba ）， ),( 11 yxP （ 01?y ）． 思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即 3160t a n 12 12 ?? ??? PFPF PFPF KK KK，設(shè)),( 11 yxP ， )0,(1 cF ? ， )0,(2 cF ，化簡可得 03233 212121 ???? ccyyx ．又1221221 ??byax ，兩方程聯(lián)立消去 21x 得 0323 412212 ??? bcybyc ，由 ],0(1 by ? ，可以確定離心率的取值范圍；解出 1y 可以求出 21FPF? 的面積，但這一過程很繁． 思路二：利用焦半徑公式 11 exaPF ?? ， 12 exaPF ?? ，在 21FPF? 中運(yùn)用余弦定理，求 1x ，再利用 ],[1 aax ?? ，可以確定離心率 e 的取值范圍，將 1x 代入橢圓方程中求 1y ，便可求出 21FPF? 的面積． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合 aPFPF 221 ?? 求解． 29 / 41 解： (法 1)設(shè)橢圓方程為 12222 ??byax （ 0??ba ）， ),( 11 yxP ， )0,(1 cF ? ， )0,(2 cF ，0?c ， 則 11 exaPF ?? ， 12 exaPF ?? ． 在 21FPF? 中，由余弦定理得 ))((2 4)()(2160c os 1122121exaexa cexaexa ?? ???????， 解得22221 34 e acx ??． (1)∵ ],0( 221 ax ? ， ∴ 2222340 ae ac ??? ，即 04 22 ??ac ． ∴ 21??ace ． 故橢圓離心率的取范圍是 )1,21[?e ． (2)將22221 34 e acx ??代入 12222 ??byax 得 2421 3cby ?，即cby 321 ?． ∴ 2221 3332212121 bcbcyFFS FPF ???????． 即 21FPF? 的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)． (法 2)設(shè) mPF?1 ， nPF?2 ， ??? 12FPF ， ??? 21FPF ， 則 ??? 120?? ． (1)在 21FPF? 中，由正弦定理得 ??? 60s in2s ins in m ??． 30 / 41 ∴???? 60sin2sinsin m ?? ∵ anm 2?? ， ∴??? 60sin2sinsin 2 ca ??， ∴2c o s2s i n260s i ns i ns i n60s i n ?????? ????????ace 212cos21 ??? ?? ． 當(dāng)且僅當(dāng) ??? 時(shí)等號(hào)成立． 故橢圓離心率的取值范圍是 )1,21[?e ． (2)在 21FPF? 中，由余弦定理得： ???? 60c o s2)2( 222 mnnmc mnnm ??? 22 mnnm 3)( 2 ??? ∵ anm 2?? ， ∴ mnac 344 22 ?? ，即 222 34)(34 bcamn ??? ． ∴ 23360s in2121 bmnS FPF ????． 即 21FPF? 的面積與橢圓短軸長有關(guān)． 說明： 橢圓上的一點(diǎn) P 與兩個(gè)焦點(diǎn) 1F ， 2F 構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)21 PFPF ? 的結(jié)構(gòu)，這樣 就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān) a ， c 的關(guān)系式，使問題找到解決思路． 典型例題二十 例 20 橢圓 12222 ??byax )0( ??ba 與 x 軸正向交于點(diǎn) A ，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn) P ， 31 / 41 使 APOP? (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，求其離心率 e 的取值范圍． 分析： ∵ O 、 A 為定點(diǎn)， P 為動(dòng)點(diǎn)，可以 P 點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把 APOP? ，轉(zhuǎn)化為 P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于 a 、 b 、 c 的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e 的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程． 解： 設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincosby ax )0( ??ba， 則橢圓上的點(diǎn) )sin,cos( ?? baP ， )0,(aA ， ∵ APOP? ，∴ 1c oss inc oss in ???? aa bab ? ???， 即 0c o sc o s)( 22222 ???? baba ?? ，解得 1cos ?? 或222cos ba ??? ， ∵ 1cos1 ??? ? ∴ 1cos ?? （舍去）， 11222 ???? ba b ，又 222 cab ?? ∴ 2022 ??ca ， ∴ 22?e ，又 10 ??e ，∴ 122 ??e ． 說明： 若已知橢圓離心率范圍 )1,22( ，求證在橢圓上總存在點(diǎn) P 使 APOP? ．如何證明？ 歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測試） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號(hào)答 案 1.(2020 安徽文 )橢圓 14 22 ?? yx 的離心率為（ ） （ A） 23 （ B） 43 （ C） 22 （ D） 32 2.(2020 上海文 )設(shè) p 是橢圓 22125 16xy??上的點(diǎn)．若 12FF， 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則12PF PF? 等于（ ） A． 4 B． 5 C． 8 D． 10 3． （ 2020 廣東） 若焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 12 22 ?? myx 的離心率為 21 ，則 m=（ ） 32 / 41 A． 3 B．23 C．38 D．32 4． （ 2020全國 Ⅱ 卷文、理） 已知△ ABC的頂點(diǎn) B、 C在橢圓 x23 ＋ y2＝ 1上，頂點(diǎn) A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在 BC邊上，則△ ABC的周長是（ ） （ A） 2 3 （ B） 6 （ C） 4 3 （ D） 12 5． （ 2020 北京文） 如圖，直線 022: ??? yxl 過橢圓的左焦點(diǎn) F1和 一個(gè)頂點(diǎn) B，該橢圓 的離心率為（ ） A．51 B．52 C． 55 D． 552 6． （ 2020 春招北京文、理） 已知橢圓的焦點(diǎn)是 F F P 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如果延長F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡是（ ） （ A） 圓 （ B）橢圓 （ C）雙曲線的一支 （ D）拋物線 7． （ 2020福建文、理） 已知 F F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，若△ ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ） （ A） 32 （ B） 33 （ C） 22 （ D） 23 8.（ 2020重慶文） 已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 043 ??? yx 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為（ ） （ A） 23 （ B） 62 （ C） 72 （ D） 24 二、填空題： 9． (2020 全國 Ⅰ 卷文 )在 ABC△ 中， 90A?? ， 3tan 4B? ．若以 AB， 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率 e? ． 10． （ 2020上海理） 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 F（－ 2 3 ， 0），且長軸長是短軸長的 2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． 11.（ 2020江蘇） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 ABC? 頂點(diǎn) ( 4,0)A? 和 (4,0)C ，頂點(diǎn) B在橢圓 1925 22 ?? yx 上，則 sin sinsinACB? ? . 12． （ 2020 春招北京、內(nèi)蒙、安徽文、理） 橢圓 44 22 ?? yx 長軸上一個(gè)頂點(diǎn)為 A，以 A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢 圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是 _______________． 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號(hào)答 案 1． （ 2020 全國卷 Ⅱ 文， 2020春招北京文、理） 雙曲線 22149xy??的漸近線方程是（ ） （ A） 23yx?? （ B） 49yx?? （ C） 32yx?? （ D） 94yx?? 2.（ 2020全國Ⅰ卷文、理） 雙曲線 221mx y??的虛軸長是實(shí)軸長的 2倍，則 m? （ ） 33 / 41 A． 14? B． 4? C． 4 D． 14 3．（ 2020 春招北京、安徽文、理） 雙曲線 12222 ??aybx 的兩條漸近線互相垂直，那么該 雙曲線的離心率是（ ） A． 2 B． 3 C． 2 D．23 4.（ 2020全國Ⅰ文、理） 已知雙曲線的離心率為 2，焦點(diǎn)是（ 4， 0），（ 4， 0），則雙曲線方程為 （ ） （ A） 1124 22 ??yx （ B） 1412 22 ??yx （ C） 1610 22 ??yx （ C） 1106 22 ??yx 5.(2020 遼寧文 ) 已知雙曲線 2 2 29 1( 0)y m x m? ? ?的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為15 ， 則 m? ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6． （ 2020全國卷 III文、理） 已知雙曲線 1222 ?? yx 的焦點(diǎn)為 F F2，點(diǎn) M 在雙曲線上且120,MF MF??則點(diǎn) M 到 x軸的距離為（ ） A． 43 B． 53 C． 233 D． 3 7． (2020 福建文、理 )雙曲線 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 12,FF，若 P 為其上的一點(diǎn)，且 12| | 2 | |PF PF? ，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） Ａ． (1,3) Ｂ． (1,3] Ｃ． (3, )?? Ｄ． [3, )?? 8.(2020安徽理 )如圖， 1F 和 2F 分別是雙曲線 )0,0(12222 ?? babrax ?? 的兩個(gè)焦點(diǎn)， A 和 B是以 O 為圓心，以 1FO 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)， 且△ ABF2 是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） （ A） 3 （ B） 5 （ C） 25 （ D） 31? 二、填空題： 9.（ 2020 安徽文） 已知雙曲線 22112xynn??? 的離心率是 3 。 11. 45