【正文】 數(shù) ()x?濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 9 生成的小波函數(shù)為平 1 2 1( ), ( ), .. .. .. ., Mxx? ? ? ?，對應的小波變換稱為多進小波變換。設討論的是多進小波，即由尺度函數(shù)生成 M1 個小波函數(shù)，則由該尺度函數(shù)和小波函數(shù)同樣可以生成多分辨分析。對于給定的 一組參數(shù) ,lj? ，確定了唯一的一個尺度函數(shù)以及 M1 個小波函數(shù)，小波函數(shù)由矩陣 ? ?,ijv的其余 M1 行決定，共有 21MC?種選擇法。有時希望在小波變換的進一步分解時同時對己分解出的低頻部分和高頻部分同時進行。這時就要用到小波包 [3]。原因是二維小波基的形式要復雜一些。設 ()x? 和 ()x? 分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù)，二維可分離的尺度函數(shù)定義為 ( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ，二維小波基由三部分組成 : 1( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ， 2( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ， 3( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? （ 230） 從物理的意義上說， 1( , )xy? 是沿水平方向平滑，而沿垂直方向高通濾波的濾波器 。小波變換后的圖像見圖 。對于有限長度的信號或有限大小的圖像，在邊界處的卷積實際上時不嚴格的。則基于二進離散小波的變換公式可以表示為 122( ) ( 2 ) ( )2NLh Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ?， 122( ) ( 2 ) ( )2NLg Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ? 0,1, , 12Nn ? ????? ? 上面求和公式中， ( 1), , ( )2Lxx? ????? ?和 ( ) , , ( 1)2Lx N x N????? ? ?沒有定義。常用的延拓方法有四種 ： (1) 零延拓 ( ), 0() 0,x n n Nxn boundary???? ?? (2) 邊界重復延拓 ( ), 0( ) ( 0 ), 0( 1),x n n Nx n x nx N n N??????????? (3) 周期延拓 (即纏繞 ) ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . . . , 2Lx k x N k k? ? ? ? 。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 2Lx N k x N k k? ? ? ? 小波分析在圖像編碼中的應用 圖像的二維小波變換 Mallat 提出的多分辨率塔式分解與合成算法促進了小波變換在數(shù)字信號處理中的工程應用。對圖像進行 N 級小波小波變換后，產(chǎn)生的 子 圖數(shù)目為 3N+1。這些算法大多首先利用小波變換將原始圖像分解成若干個子帶圖像，然后再對各個子圖分別進行量化，最后根據(jù)某種失真準則對各子進行比特分配和編碼。 原始圖像經(jīng)過小波變換后，其在小波變換域的系數(shù)存在三種相關性：同一子帶內(nèi)相鄰系數(shù)之間的相關性；相鄰級同一方向上，兩個子帶對應位置系數(shù)之問的相關性 (子帶的方向性指的是 LH， HL 和 HH 三個方向 )；不同子帶相 同位置系數(shù)之間的相關性。但矢量量化編碼運算量較大，且對圖像的依賴性較強，使用中有一定的局限性。 (EZW) EZW 算法是一種簡單而十分有效的壓縮算法。 1993 年 Shapiro 在這種結構的基礎上發(fā)展了零樹算法。設定一個閾值 T，凡是小于 T 的系數(shù)都為次要系數(shù)。零樹編碼以后，高頻子帶上大帶的次要系數(shù)只需要網(wǎng)叉樹上少量的節(jié)點就可以表達。這種結構的優(yōu)點在于，編 碼器和解碼器可以在任意碼率上停下米，并且保證壓縮質量始終最優(yōu)。此后，很多學者對 EZW 算法做了改進，又發(fā)展出一些新的算法， SPIHT， SFQ 和 EPWIC是其中具有代表性的幾種算法。他們認為 EZW 算法之所以成功來自于三方面的原因：首先，根據(jù)小波系數(shù)的幅值對系數(shù)做了局部分段排序；其次，精細比特采用位平面方式 傳輸；最后，利用了不同分解級上系數(shù)的相似性。該濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 13 算法同時也保留了 EZW 的幅度排序和重要比特優(yōu)先等策略。根據(jù)原作者的實驗， SPIHT 的壓縮性能在多數(shù)情況下都超過了 EZW 算法。和傳統(tǒng)的圖像壓縮算法不同， SFQ 算法建立在一個相對簡單的圖像模型之上，認為 圖像的特性可以由頻域和時域能量分布的線性組和共同描述，即圖像的能量主要集中在低頻部分，高頻部分只殘存一少部分，但同時圖像的能量又主要集中在邊緣和突變的地方，平坦的區(qū)域相對能量較少。SFQ 算法的理論模型非常簡單，性能也不錯，其不足之處在于系數(shù)取舍的優(yōu)化過程需要多次迭代計算。小波編碼壓縮提出以后，人們逐漸意識到正交變換之后小波系數(shù)之間還存在一定的相關性 和相似性，利用這種相關性和相似性可以提高圖像壓縮的性能。 EPWIC 算法在這方面則通過分析相鄰空間位置、方向和分解級系數(shù)幅度的相關性，設計基于統(tǒng)計模型的小波系數(shù)預測算法，從而降低小波系數(shù)的熵值。目前己被新的圖像壓縮國際標準JPEG2020 所采用。作為補償， EBCOT 采用上卜．義相關二進制 MQ 算術編碼器對小波系數(shù)做熵編碼，其總體壓縮性能不遜于上述任意一種算法。 綜上，小波變換圖像算法日益成熟，目前只有小波圖像編碼的幾種算法能夠超過 DCT 編碼；而 EZW， SPIHT 由于涉及浮點運算，需要較大的緩存，也不在可選之列： SFQ 算法由于需要進行多次迭代不適合用于固定碼率的圖像壓縮；剩下的兩種算法 EPWIC 和 EBCOT 比前述算法更有可取之處，比較而言， EBCOT 的壓縮效率更高，可生成嵌入式碼流，支持無損壓縮 [17]。邊緣檢測的首要任務是邊緣的定義。由此引入基于導數(shù)的階躍型邊緣的定義 :即一階導數(shù)的極大值或二階導數(shù)的零交叉?；谶@樣定義的邊緣是一個病態(tài)問題。比較好的方法是正則化方法。但正則化方法只是證明了在單一尺度下用 3 次樣條函數(shù)平滑可以使整體誤差最小。一般而言，大尺度平滑因子可以平滑更多的噪聲而失去較多的細節(jié)，而小尺度平滑因子可以保留較多的細節(jié)邊緣，但對噪聲的抑制能力減弱。在此基礎上，出現(xiàn)了多種自適應多尺度邊 緣檢測算子。多尺度邊緣檢測時發(fā)生位移的原因包括兩個方面 :噪聲的影響和相鄰邊緣的干擾。矛盾解決的效果客觀上取決于邊緣附近噪聲的類型和強度相鄰邊緣的強度和邊緣之間的距離。 小波分析具有多分辨特性，因而被很多多尺度邊緣檢測方法采用 。同時， 小波分解的高頻信息有助于提取邊緣信息。而 Mexican hat 小波更適合于直邊物體的分割 。 本課題 首先給出一種廣義的階躍型邊緣的定義。進而 討論 一種根據(jù)局部圖像的特點，求出保持圖像局部邊緣點位 置不變的最大尺度的多尺度自適應邊緣檢測方法。 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 15 經(jīng)典邊緣檢測方法 (1)梯度算子和 Robert 算子。 (2)Prewitt 和 Sobel 算子。 (3)Kirsch 算子。 (4)Laplacian 算子。 (5)沈俊算子。 (6)Canny 算子。他還證明了最佳濾波實際是用高斯函數(shù)的一階導數(shù)來濾波，并導出了二階邊緣檢測最佳算子，由于 Canny 算子的良好特性，它已成為很多邊緣檢測器設計的比較標準 [6]。局部化特性為使用小波變換直接進行邊緣檢測提供了可能 。 局部頻率刻畫功能 一般 的 ， 滿足 性 質 ( ) 1xR x d? ?? 的函 數(shù) ()x? 稱 為平 滑 函 數(shù)。當 ()x? 具有緊支集時，這種光滑具有局部刻畫能力。 ? ?( ) ( )* ( ) ( ) * * ( )xxd f x d xx f x d f xdd ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ 31） 上式的左端為信號 f(x) 的變化率的局部平均，中間項可看成另一函數(shù)( ) ( ) xx d x d??? 對信號 f (x)的平滑。以 ()x? 為尺度函數(shù)產(chǎn)生的小波 ()x? 正好具有這樣的功能。從而可用于分析 圖像 的局部信息，提取 圖像 的局部特征，發(fā)現(xiàn) 圖像 的細節(jié)信息。并進一步從包含多個物體對象的 圖像 中識別特殊的對象。 小波多分辨分析 設 L2 (R)為平方可積函數(shù)， L2 (R)上的一個多分辨分析是指滿足一定條件的閉子空間序列 11, ...... .....j j jVj V V V??? ? ?設 Wj 是 Vj 在 Vj1 上的正交補空間，即1j j jV W V ???。這里 ()x? 為尺度函數(shù) ? ?( ),1 1s x s M? ? ? ?為小波函數(shù)，它們滿足如下方程 : ( ) ( ) , ( ) ( )sk s kkZx c M x k x d M x k? ? ? ??? ? ? ? ? ? （ 33） 其中 c2 稱為濾波系數(shù)， d2 為小波系數(shù)。 邊緣的多尺度特性刻畫 邊緣在不同的尺度下的變化具有一定的規(guī)律性。利用這些性質可區(qū)分噪聲與實際邊緣，以及邊緣的種類。而對于光滑邊緣，當尺度縮小時，相應的小波分支系數(shù)變化緩慢。對于光滑邊緣 (灰度值變化較緩慢 )，當小波尺度最小時，該分支系數(shù)并非最大，隨著尺度的逐步增加，該分支系數(shù)將會增加，當尺度增加到一定值時又會開始下降。小波主分支分析無論在邊緣檢測還是 圖像 分類中都有很好的應用。 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 17 邊緣檢測準則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測準則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測算法的設計取決于邊緣的定義。一般認為，邊緣是那些局部灰度變化劇烈的地方?！耙浑A導數(shù)極大值”的定義更精確一些 ； 而“二階導數(shù)的零交叉”更容易實施。因為，無論是隨機噪聲、孤立噪聲還是條帶噪聲，都滿足上面的邊緣定義。解決這類問題的較普遍的方法是正則化方法。從尺度分析的角度看，該方法實際上是在大尺度下對 圖像 進行邊緣檢測。在假設邊緣模型為階躍邊緣 時， 即信號 00,( ) ( ) 0,A x xf x A x xx? ???? ? ??，設 ()x? 是方差為 2? 的加性白噪聲， h(x)是方差為 2? 的二階微分濾波器，容易推出邊緣點偏移的方差為 222 ` 200 `20( ( ) ) ( ( ) )hE x x fx??? ? ? ? （ 34） 由于噪聲是未知的，因此，改善邊緣檢測算子在保持邊緣位置方面就取決于二階微分濾波器 h(x)了。其中，前兩條是相互矛盾的，只能取某種折中 ； 第二條和第三條是一致的。當其它邊緣點離 x0 很近時，對 ` 0()hfx的影響很大。 從公式 (34)看，似乎在大尺度下檢測出的邊緣不可避免的要發(fā)生位移。首先 (34)式表示的是一種統(tǒng)計誤差，而 并不代表具體點的實際誤差。從而 (34)式中的方差。因而 (34)式反映了單一尺度下邊緣位移的統(tǒng)計誤差。再次，（ 34）式的推導是在兩個基本假設之下得出的。而對于階躍型邊緣的假設則很值得推敲。另外，實際的邊緣并非 像 上面的那樣迅速發(fā)生突變。從屋脊型邊緣的模型來看，真正希望被檢測出來的是屋脊的頂點，但若按照階躍型邊緣的模型定義，實際檢測出來的將是屋脊兩腰的點。下邊給出一種廣義的連續(xù)階躍型邊緣模型。其中 n 為正整數(shù)。事實上，這里的階躍型邊緣的定義是傳統(tǒng)的階躍邊、斜坡邊、脈沖邊和階梯邊的綜合，且更能反映邊緣的灰度變化。前面已經(jīng)說明了建立連續(xù)型邊緣模型的原因。而 本課題 的處理是按點進行的。 按照這樣定義的階躍模型還有一個好 處，即有可能將屋脊型邊緣與階躍型邊緣統(tǒng)一起來處理。 圖 廣義階躍型邊緣 圖 屋脊型邊緣介于兩階躍邊緣之間 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 19 定義 2 設 f(x,y)表示二維圖像，基于而進小波分解后尺度 j 時的“邊”被定義為這樣的點 (x0,y0)的集合，在這些點上，函數(shù)沿著梯度向量場的方向，梯度向量的模達到極大值。在進行邊緣檢測時需記下模極大值及其位置和幅角。若 (xo,y0)點是 ,( , )xxf xy 的過零點，則 (x0,y0)也是,( , )xg xy 的 過零點。定義 3 設 (xo, y0)為函數(shù) f (x, y)的極大值點，若存在這樣一個正數(shù) ? ，使得當 f(x,y)限制在 (x0,y0)點的 ? 一閉鄰域 ? ? ? ?0 0 0 0,U x x y y? ? ? ?? ? ? ? ? ?內(nèi)時，沿梯度方向 f(x0,yo)為 f(x,y)的最大值點，而在任何包含 u 的開 鄰域內(nèi)， (x0,y0)不為 f (x)的最大值點，則稱 U為 f(x,y)關于點 (x0,y0)的極大值區(qū)間。在離散的情況，即nx??? ，稱其極大值半徑為 n，極大值區(qū)間長度為 ，稱其模函數(shù)的極大值半徑為該邊緣點的半徑 ； 其模函數(shù)的極大值區(qū)間稱為該邊緣點的極大值區(qū)間。 定理 1： 設 f (x, y)為二維圖像， ()x? 為關于 Y 軸對稱的且具有緊支集的非負尺度函數(shù)， ,( ) ( )xx??? 為對應小波函數(shù)，令 0 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 1 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，2 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 3 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，則以 0( , )W xy 為尺度函數(shù)，以 w1, w2，和w3為基小波的小波變換，對于廣義階躍型邊緣在小波變換后仍然能準確定