【正文】 的其它學(xué)科也有許多應(yīng)用。層次分析法的基礎(chǔ)是目標(biāo)的分層和對同一層次的各目標(biāo)的重要性進(jìn)行兩兩比較，使確定各目標(biāo)的權(quán)重的任務(wù)具有可操作性。 例如 有兩個特征向量和相應(yīng)的特征根 ?????? ???3254A225V。其中 I 為單位矩陣。 ?????? ???3254A 0325410013254|IA| ??????????????? 判斷矩陣特征向量和特征根的疊代算法 任取一個初始 n 1向量 計算 ??????????????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A??????????????????????????4/14/14/14/1W 0???????????????????????????????????????????????????AWW 01 歸一化為 112 WAWW ????????????????????????????????????????已經(jīng)收斂。 層次分析法原理 設(shè) n個物體，重量分別為 w1， w2， … ， wn，總總量 將 w1， w2， … ， wn 歸一化，即令 歸一化以后的重量滿足 如果已知這 n個物體總量兩兩比較的值，能否求出它們（歸一化）的重量？ ???n1iiwW n,2,1iWwwn1iii ??? ??1w,w,w01w n21n1ii ?????? 設(shè) n個物體重量的兩兩比較判斷矩陣如下 例如，四個物體的重量為 w1=2， w2=1， w3=3， w4=4（公斤） 它們的總重量 W=10公斤，歸一化的重量為 四個物體兩兩比較的判斷矩陣為 ?????????????nn2n1nn22212n12111w/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wA??????? 4321 ?????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A Wnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAn21n21n21nn2n1nn22212n12111??????????????????????????????????????????????????????????????這個矩陣具有以下特點： 對角線上的元素 aii=1 （ i=1,2,…,n ） 以對角線對稱的元素互為倒數(shù) aij=1/aji （ i,j=1,2,…,n ） 各物體之間的相對重量比值是一致的 aij=aik/ajk （ i,j=1,2,…,n ） n個物體歸一化的重量組成的向量是判斷矩陣的一個特征向量，對應(yīng)的最大特征根 ?max=n。 同樣，在多目標(biāo)決策中，如果能給出各目標(biāo)重要性兩兩比較的判斷矩陣，就可以求出這些目標(biāo)（歸一化）的相對重要性。這些數(shù)字的含義為： C A1 A2 … An A1 a11 a12 … a1n A2 a21 a22 … a2n … … … … … An an1 an2 … ann aij 含義 1 元素 i 和元素 j 同等重要 3 元素 i 比元素 j 稍微重要 5 元素 i 比元素 j 明顯重要 7 元素 i 比元素 j 強烈重要 9 元素 i 比元素 j 絕對重要 與物體的重量之比不同，目標(biāo)的重要性判斷矩陣可能是不一致的。如果不一致性在一定的范圍以內(nèi)，判斷矩陣還是有效的，不一致性超出一定的范圍，判斷矩陣的有效性就有問題。 單層次分析法的步驟： 1. 構(gòu)造組成目標(biāo)各元素的重要性兩兩比較判斷矩陣； 2. 求解判斷矩陣的最大特征根 ?max和相應(yīng)的特征向量 ； 3. 判斷矩陣的一致性檢驗。 W 一致性檢驗的步驟如下： 1) 計算一致性指標(biāo) . 2) 計算平均隨機一致性指標(biāo) . 這個指標(biāo)是隨機產(chǎn)生的不同維數(shù)的判斷矩陣的特征根的平均值 3) 計算一致性比例 當(dāng) .，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。根據(jù)兩個權(quán)重匹配的情況，提出改進(jìn)的意見。 目標(biāo)規(guī)劃（ Goal Programming） 線性規(guī)劃是一種應(yīng)用非常廣泛的優(yōu)化模型，但它也有以下明顯的缺點： 只能求解 單目標(biāo) 問題； 把 約束條件和目標(biāo)函數(shù) 作為完全不同的概念來處理，而在實際問題中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往是可以互換的，并沒有嚴(yán)格的區(qū)別。在一些實際問題中，約束條件是可以突破的，約束條件的右邊常數(shù)并不是變量上限或下限，而是一個希望能夠最接近的目標(biāo)。 針對線性規(guī)劃的以上缺陷， A. Charnes和 W. Cooper提出了目標(biāo)規(guī)劃（ Goal Programming），這是一種求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法。 目標(biāo)規(guī)劃的圖解 設(shè)線性規(guī)劃問題為 max z=2x1+3x2 . x1 x2 ≤1 x1+x2 ≥2 x2 ≤3 x1， x2 ≥0 由圖解可知，線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： x1=4， x2=3 max z=17 01234 3 2 1 1 min z=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4 . 2x1+3x2+n1p1 =12 (1) x1 x2 +n2p2 = 1 (2) x1+ x2 +n3p3 = 2 (3) x2 +n4p4 = 3 (4) x1, x2, n1, p1， n2, p2, n3, p3, n4, p4 ≥0 相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃問題為 其中 p p p p4稱為正偏差變量， n n n n4稱為負(fù)偏差變量。因此，對第 i個目標(biāo)，有 iiin1jjij bpnxa ?????如果各目標(biāo)無優(yōu)先級，要使所有的目標(biāo)總偏差最小，即 ???m1iii )pn(min 目標(biāo)規(guī)劃的模型為： 對于每一個目標(biāo)，正偏差變量和負(fù)偏差變量在系數(shù)矩陣中的列向量是兩個相同的單位向量，是線性相關(guān)的，不可能同時出現(xiàn)在基矩陣中，因此，以上問題的任何一個基礎(chǔ)可行解，同一個目標(biāo)的正負(fù)偏差變量，不可能兩個同時大于 0。 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn()pn()pn()pn(min554433221132155321443213332122321113214422335511??????????????????????????????????? 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達(dá) 到 的 目 標(biāo) 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 用單純形法，得到目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解、各目標(biāo)的值以及偏差變量的值 最優(yōu)解 目標(biāo)值 偏差變量 目標(biāo)規(guī)劃的特點 ?可以求解多目標(biāo)問題。 ?用目標(biāo)（ Goal）的概念取代了線性規(guī)劃中的“約束條件”，用偏離各目標(biāo)的總偏差最小取代了線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)，消除了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)和約束條件的對立。 ?目標(biāo)規(guī)劃總是有可行解的。 目標(biāo)有優(yōu)先級的目標(biāo)規(guī)劃 在上面的例子中，利潤、耗用原料、排放污染、銷售額、總產(chǎn)量等五個目標(biāo)是一視同仁的，最優(yōu)解是使偏離五個目標(biāo)的總偏差之和最小。 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達(dá) 到 的 目 標(biāo) 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 確定五個目標(biāo)的優(yōu)先級 Pi（ Pi=1， 2， 3， 4， 5），數(shù)字越小優(yōu)先級越高 目 標(biāo) 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級 Pi 目標(biāo)的 理想值 正偏差 變量 負(fù)偏差 變量 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 18 p5 n5 目標(biāo)有優(yōu)先級的目標(biāo)規(guī)劃解法有： ?加權(quán)法 ?字典序法 目 標(biāo) 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 優(yōu)先級 權(quán)重 理想值 正偏差 負(fù)偏差 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 10000 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 1 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 100 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 1000 100 p4 n4 總產(chǎn)量（噸） 1 1 1 4 10 18 p5 n5 目標(biāo)具有優(yōu)先級的目標(biāo)規(guī)劃解法 —— 加權(quán)法 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn(10)pn(10)pn(10)pn(10min5544332211321553214432133321223211132144222333554115????????????????????????????????????????????? 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負(fù)偏差 產(chǎn)量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 無 優(yōu) 先 級 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產(chǎn)量（噸） 10 18 0 8 產(chǎn)品 A 產(chǎn)品 B 產(chǎn)品 C 理想值 正偏差 負(fù)偏差 產(chǎn)量（噸） 1 0 RHS pi ni 有 優(yōu) 先 級 1 利潤（萬元） 77 77 0 0 5 耗用原料（噸） 38 38 0 0 3 排放污染（ m3） 26 0 2 銷售價格（萬元） 100 0 4 總產(chǎn)量（噸） 18 0 目標(biāo)具有優(yōu)先級的目標(biāo)規(guī)劃解法 — 字典序優(yōu)化（ Lexicooptimization） 字典序法的原則是： ?首先不顧其它目標(biāo)，對優(yōu)先級最高的目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，得到使第一級目標(biāo)最優(yōu)的決策變量的值以及第一級目標(biāo)函數(shù)的值； ?然后在不使第一級目標(biāo)變差的前提下，優(yōu)化第二級目標(biāo)； ?用同樣的原則，按優(yōu)先級從高到低，依次優(yōu)化各級目標(biāo)，直至所有目標(biāo)都優(yōu)