空間向量及立體幾何練習(xí)試題和答案解析-閱讀頁(yè)
2024-08-11 04:50本頁(yè)面
【正文】 請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計(jì)算BM，則即為所求角的正弦值．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴AB⊥PC．（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AC于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．若∠MGN=45176。．在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC=S△ABC?MN==，設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h，則VB﹣MAC=，∵M(jìn)G=MN=，∴S△MAC===2，∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135176。．（1）求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大?。唬?）已知點(diǎn)D滿(mǎn)足=+，在直線(xiàn)AA1上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）推導(dǎo)出A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值．（2）假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P（0，y，z），則．利用向量法能求出存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為（0，0，），即恰好為A1點(diǎn)．【解答】解：（1）∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O，∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60176。從而，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）∴，∴，從而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，從而又，∴，∴，∵G為△AB1C的重心，∴，…（8分）設(shè)平面ABC的法向量為，由可得，令y=1，則z=﹣1，所以．…（10分）設(shè)直線(xiàn)GD與平面ABC所成角α，則=，所以直線(xiàn)GD與平面ABC所成角的正弦值為…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線(xiàn)與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力． 10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A′，設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．（1）當(dāng)θ=90176。∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．（2）DE==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==．當(dāng)即cos∠A′EF=時(shí)，．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A39。又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A39。F∴A39。BD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角與空間距離的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題． 11．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構(gòu)成的幾何體中，∠BAC=90176。建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）利用向量求解【解答】解：（Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90176。∠BAC=∠CAD=60176。AC=AM=2，∴∠ACM=60176。∴MC∥AB．∵M(jìn)C?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．（2）解：過(guò)A作AF⊥AD，交BC于F，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（，﹣，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），設(shè)平面PAC的法向量為=（x，y，z），則，取=（，﹣3，0），設(shè)=λ（0≤λ≤1），則=（0，4λ，﹣2λ），=（﹣λ﹣1，2﹣2λ），∴|cos＜，＞|==，∴，∴N為PD的中點(diǎn)，使得直線(xiàn)CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面平行的判定，考查線(xiàn)面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題． 14．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45176。得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可證得AB⊥PC．（Ⅱ）以O(shè) 為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，連接OC，∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…（2分）∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，又∵∠ABC=451
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