空間向量及立體幾何練習(xí)試題和答案解析-文庫吧資料
2024-08-05 04:50本頁面
【正文】 。AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求證：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M為DC1的中點(diǎn)，求證：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線DP與平面BB1D所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【分析】（Ⅰ）證明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可證明AC⊥DC1．（Ⅱ）易得∠BAC=90176。F⊥平面ABCD．以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）．∴=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）．設(shè)平面A′BD的法向量為=（x，y，z），則，∴，令z=1得=（﹣，2，1）．∴cos＜＞===．∴BC與平面A39。EF，∴BD⊥A39。FE=90176。時(shí)，求A′C的長；（2）當(dāng)cosθ=時(shí)，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．【分析】（1）過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計(jì)算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F=，從而得出A′F⊥平面ABCD，以F為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出和平面A′BD的法向量，則BC與平面A′BD所成角的正弦值為|cos＜＞|．【解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．∴，BE==8，cos∠CBE==．在△BCE中，由余弦定理得CE==2．∵θ=90176。且各棱長都相等，∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC．…（2分）故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），∴=（0，1，），=（），=（0，2，0）．…（4分）設(shè)平面AB1C的法向量為，則，取x=1，得=（1，0，1）．設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為．…（6分）（2）∵=，而，∴=（﹣2，0，0），又∵B（），∴點(diǎn)D（﹣，0，0）．假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P（0，y，z），∴．∵DP∥平面AB1C，=（﹣1，0，1）為平面AB1C的法向量，∴由=λ，得，∴y=0．…（10分）又DP?平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為（0，0，），即恰好為A1點(diǎn)．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用． 9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通過證明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后證明平面AB1C⊥平面BCD．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與平面ABC所成角α，利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵ABB1A1為矩形，AB=2，D是AA1的中點(diǎn)，∴∠BAD=90176。∴BN==，∴BM==3，∴BM與平面MAC所成角的正弦值為=．【點(diǎn)評】本題考查了項(xiàng)目垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計(jì)算，屬于中檔題． 8．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60176。則NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是線段PD的中點(diǎn)．∴存在點(diǎn)M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45176。．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）設(shè)平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則，則，取=（，0，﹣1）．設(shè)平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則，則，取=（0，4）．設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ===﹣，則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵． 5．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進(jìn)一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面
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