正弦定理和余弦定理(教師版)-閱讀頁(yè)
2025-07-09 03:33本頁(yè)面
【正文】 n C， sin(A＋C)＝4cos Asin C，即sin B＝4cos Asin C. 由正弦定理得sin B＝sin C，故b＝4c cos A，② 由①，②解得b＝4.6．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2＋c2－bc＝ a2和＝＋，求角A和tan B的值． 解：由b2＋c2－bc＝a2，得＝， 即cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝. 又＝＋，＝＋， C＝π－A－B＝－B， ∴sin＝sin B， 整理得cos B＋ sin B＝sin B＋sin B. ∴ cos B＝sin B，則tan B＝. 答案要點(diǎn)梳理1. (1)sin A∶sin B∶sin C (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C(3) 2．b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 基礎(chǔ)自測(cè)1．2 3. 4. 題型分類或A＝120176。時(shí)，C＝180176。－60176。c＝＝；當(dāng)A＝120176。－45176。＝15176。＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－.∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π.(2)將b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsin B＝.變式訓(xùn)練2 解 (1)∵cos ＝，∴cos A＝2cos2－1＝，∴sin A＝.又(sin A－sin B)＝0，∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，當(dāng)cos A＝0時(shí)，∵0Aπ，∴A＝，△ABC為直角三角形；當(dāng)sin A－sin B＝0時(shí)，得sin B＝sin A，由正弦定理得a＝b，即△ABC為等腰三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1．D 4. 7．解 (1)∵b＝2asin B.∵B是三角形的內(nèi)角，∴sin B0，從而有sin A＝，∴A＝60176?！逜是銳角，∴A＝60176?！郻c＝40，又72＝b2＋c2－2bccos 60176?！郻2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.B組1．D 3．A 4．60176。A180176。.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.∴＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C，又sin B＋sin C＝1， ②∴sin Bsin C＝. ③解②③聯(lián)立的方程組，得sin B＝sin C＝.因?yàn)?176。0176。故B＝C.所以△ABC是等腰的鈍角三角形．8．解 (1)∵B＋C＝π－A，即＝－，由4sin2－cos 2A＝，得4cos2－cos 2A＝，即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.∴cos A＝，又0176?！郃＝60176。根據(jù)余弦定理cos A＝，即＝，∴b2＋c2－bc＝3， ①又b＋c＝3， ②∴b2＋c2＋2bc＝9. ③①－③整理得：bc＝2. ④解②④聯(lián)立方程組得或14
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