【正文】 ????????nininiiiinii xnnxxnxv1 1 1101() 式 ()表明， 當(dāng) n足夠大時， 殘差的代數(shù)和等于零， 這一性質(zhì)可用來檢驗計算的算術(shù)平均值是否正確。 x第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3. 隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度， 即測量值的分散程度。 方差定義為當(dāng) n→∞ 時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值， 即 ??????nixin Exn122 )(1lim?() 因為隨機(jī)誤差 δi=xi－ Ex， 所以 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 ?????niin n122 1lim ??() 式中， ζ2稱為測量值的樣本方差， 簡稱方差。 這樣在計算過程中就不必考慮 δi的符號， 從而帶來了方便。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 由于實(shí)際測量中 δi都帶有單位 (mV、 μA等 )， 因而方差ζ2是相應(yīng)單位的平方， 使用不甚方便。 ζ反映了測量的精密度， ζ小表示精密度高， 測量值集中； ζ大表示精密度低， 測量值分散。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 理論和測量實(shí)踐都證明， 測量值 xi與隨機(jī)誤差 δi都按一定的概率出現(xiàn)。 表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上， 等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大， 隨著隨機(jī)誤差絕對值的加大， 出現(xiàn)的概率急劇減小。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 xi的正態(tài)分布曲線 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 δi的正態(tài)分布曲線 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 設(shè)測量值 xi在 x~x+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為 P， 它正比于dx， 并與 x值有關(guān)， 即 P{xxix+dx}=φ(x) dx () 式中， φ(x)定義為測量值 xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)， 顯然有 P{－ ∞xi∞}= () 對于正態(tài)分布的 xi， 其概率密度函數(shù)為 ???? ? 1d)( xx?222)(eπ21)( ???xExx????() 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 同樣， 對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差 δi， 有 222eπ21)( ????????() 由圖 (1) δ愈小， (δ)愈大， 說明絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大； 相反， 絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概論小， 隨著 δ的增大， (δ)很快趨于零， 即超過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn) (隨機(jī)誤差的有界性 ) ??第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 (2) 大小相等、 符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等 (隨機(jī)誤差的對稱性和抵償性 ) (3) ζ愈小， 正態(tài)分布曲線愈尖銳， 表明測得值愈集中， 精密度高； 反之， ζ愈大， 曲線愈平坦， 表明測得值分散， 正態(tài)分布又稱高斯分布， 在誤差理論中占有重要的地位。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2. 在測量實(shí)踐中， 還有其他形式的概率密度分布形式， 其中， 均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布， 如圖。 在電子測量中常見的有下列幾種情況。 儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)， 所有的測量值可以認(rèn)為是一個值。 1(或幾個字 )”的誤差。 數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。 去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 同樣可以求得隨機(jī)誤差落在 177。 3ζ范圍內(nèi)的概率為 π21}2|{| 222 22????? ???????????iP() π21}3|{| 332 22????? ???????????iP() 即當(dāng)測得值 xi的置信區(qū)間為［ Ex－ 2ζ, Ex+2ζ］和［ Ex－ 3ζ, Ex+3ζ］時的置信概率分別為 。 如果在測量次數(shù)較多的等精度測量中， 出現(xiàn)了 |δi|Δ=3ζ的情況 (由于δi=xi－ Ex=xi－ A, Ex或 A無法求得， 就以 代替， 此時隨機(jī)誤差 δi以殘差 vi=xi－ 代替 )， 則必須予以仔細(xì)考慮， 通常將|vi|≈|δi|3ζ的測量值判為壞值， 應(yīng)予以剔除。 另外， 按照 |vi|3ζ來判斷壞值是在進(jìn)行大量等精度測量、 測量數(shù)據(jù)屬于正態(tài)分布的前提下得出的， 通常將這個原則稱為萊特準(zhǔn)則， 該準(zhǔn)則使用起來比較方便。 本書都假定滿足使用萊特準(zhǔn)則的條件。 當(dāng) n為有限值時， 我們用殘差 vi=xi－ 來近似或代替真正的隨機(jī)誤差 δi， 用 表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值， 可以證明： x??????niivn1211??() 式 ()稱為貝塞爾公式。 若 n=1， 則 值不定， 表明測量的數(shù)據(jù)不可靠。 有時簡稱為標(biāo)準(zhǔn) 仍以表 ， 可以算出： ??12 ?? ??niivn?第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 5. 如果在相同條件下將同一被測量分成 m組， 每組重復(fù) n次測量， 則每組測得值都有一個平均值 。 我們用 來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 由概率論中方差運(yùn)算法則可以求出： xx?第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 nx?? ?() 同樣定義 =3 為算術(shù)平均值的極限誤差， 與真值 間的誤差超過這一范圍的概率極小， 因此， 測量結(jié)果可以表示為 x=算術(shù)平均值 177。 = 177。 由式 ()可以看到， 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù) n的增大而減小， 但減小速度要比 n的增長慢得多， 即僅靠單純增加測量次數(shù)來減小標(biāo)準(zhǔn)差收效不大， 因而實(shí)際測量中 n的 取值并不很大， 一般在 10~20之間。 3 【 例 1】 用電壓表對某一電壓測量 10次， 設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差， 測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計算值如表 ， 試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。 進(jìn)一步計算得到 x110111 101212 ????? ???? iinii vvn?100 3 0 ?????nx??因為該電壓的最終測量結(jié)果為 x=177。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)， 更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。 由于它不具備抵償性， 因此取平均值對它無效。 欲削弱或消除系差的影響， 必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因， 根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律， 依靠測量者的學(xué)識、 經(jīng)驗， 采取不同的處理方法。 歷史上雷萊曾利用不同的來源和方法制取氮?dú)猓? 化學(xué)法提?。? = 71, ζ1= 41 大氣中提?。? = 22, ζ2= 19 平均值之差： － = 51 標(biāo)準(zhǔn)偏差： ζ= = 45 兩平均值之差值理論上應(yīng)為零， 現(xiàn)已超過其標(biāo)準(zhǔn)偏差的 20倍以上， 可見兩種方法間存在著系統(tǒng)誤差。 1x2x1x 2x2221 ?? ?第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 實(shí)際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣， 系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同， 但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判 1. 凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差， 不難通過對測量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差， 甚至計算出系差的大小。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2. 當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時， 可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3. 系差常與測量條件有關(guān)， 如果能改變測量條件， 比如更換測量人員、 測量環(huán)境、 測量方法等， 則根據(jù)對分組測 校準(zhǔn)和比對法、 改變測量條件法都屬于實(shí)驗對比法， 一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 為了直觀， 通常將剩余誤差制成曲線， 如圖 。 剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。 (1) 采用的測量方法和依據(jù)的原理正確， 后面我們將專門 (2) 選用的儀器儀表類型正確， 準(zhǔn)確度滿足測量要求， 如要測量工作于高頻段的電感電容， 應(yīng)選用高頻參數(shù)測試儀 (如LCCG1高頻 LC測量儀 )， 而測量工作于低頻段的電感電容就應(yīng)選用低頻參數(shù)測試儀 (如 WQ5電橋、 QS18A萬能電橋 )。 尤其對于精密測量， 測量環(huán)境的影響不能忽視， 必要時應(yīng)采取穩(wěn)壓、 恒溫、 電磁 (4) 條件許可時， 可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器， 以減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng) (5) 提高測量人員的學(xué)識水平、 操作技能， 去除一些不良習(xí)慣， 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 1. 。 零示法原理如圖 ， 圖中 x為被測量， s為同類可調(diào)節(jié)已知標(biāo)準(zhǔn)量， P 為零示器。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 零示法原理圖 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 電位差計是采用零示法的典型例子。 其中， Es為標(biāo)準(zhǔn)電壓源； Rs為標(biāo)準(zhǔn)電阻； Ux為待測電壓； P 為零示器， 一般用檢流計。 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 電位差計原理圖 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2. 替代法又稱置換法。 由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變， 因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響， 測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器的靈敏度。 首先接入未知電阻 Rx， 調(diào)節(jié)電橋使之平衡， 即 IP=0， 此時有 221RRRRx??() 由于 R R R3都有誤差， 因此若利用它們的標(biāo)稱值來計算 Rx, 則 Rx也帶有誤差， 即 223311Δ)Δ)(Δ(ΔRRRRRRRRxx ?????() 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 進(jìn)一步計算得到： 223311 ΔΔΔΔRRRRRRRRxx ???() 為了消除上述誤差， 現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻 Rs代替 Rx， 并在保持 R R R3不變的情況下通過調(diào)節(jié) Rs， 使電橋重新平衡， 因而得到： 223311ss Δ)Δ)(Δ(ΔRRRRRRRR?????() 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 比較式 ()和式 ()， 得到： Rx+ΔRx=Rs+ΔRs () 可見， 測量誤差 ΔRx僅取決于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差 ΔRs， 而與 R R R3 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 替代法測量電阻 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3. 補(bǔ)償法相當(dāng)于部分替代法或不完全替代法。 下面以諧振法(如 Q表 )測電容為例說明這種測量方法。 調(diào)節(jié)信號源頻率使電路諧振 (此時電壓表指示最大 )， 設(shè)諧振頻率為 f0， 可以算出： 020200 π41)(π21 CLfCCCLf xx?????() 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 圖 諧振法測電容 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 可見， Cx與頻率 f0、 電感 L、 分布電容 C0都有關(guān)， 它們的準(zhǔn)確度 (尤其 C0， 常常很難給出具體準(zhǔn)確的數(shù)值 )都會對 Cx的準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響。 由式 (10)容易得到僅接入 Cs1時有 )(π2101s0 CCLf ??() 第 2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 接入 Cx后有 )(π2102s0 CCCLfx ???() 比較兩式得到： Cx=Cs1－ Cs2 () 可見， 此時待測電容 Cx僅與標(biāo)準(zhǔn)電容有關(guān)， 從而測量準(zhǔn)確度要比用圖 。 現(xiàn)以圖 。 設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為 Rs2， 因而 s212 RRRRx ??() 如果 R1=R2(故稱為等臂電橋 )， 則由式 ()和式 ()可知 Rs1=Rs2=Rs， 進(jìn)而得到 Rx=Rs () 如果 R1≠R2, 則 Rs1≠Rs2， 可由式 ()和式 ()得到： Rx=