【正文】 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 ????????niinii nAxxn111Δ1 ??() 當(dāng) n足夠大時(shí)， 由于隨機(jī)誤差的抵償性， δi的算術(shù)平均值趨于零， 于是由式 ()得到 ?????niixnAx1Δ1?() 可見(jiàn)， 當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)， 若測(cè)量次數(shù)足夠多， 則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差 ε。 經(jīng)過(guò)進(jìn)一步深入研究， 雷萊發(fā)現(xiàn)了空氣中的惰性氣體。 其中， 圖 (a)表示剩余誤差 vi大體上正負(fù)相同， 無(wú)明顯變化規(guī)律， 可以認(rèn)為不存在系差； 圖 (b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律， 可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差； 圖 (c)中 vi的大小和符號(hào)大體呈現(xiàn)周期性， 可認(rèn)為存在周期性系差； 圖 (d)變化規(guī)律復(fù)雜， 大體上可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。 零示器的種類有光電檢流計(jì)、 電流表、 電壓表、 示波器、 調(diào)諧指示器、 耳機(jī)等， 只要零示器的靈敏度足夠高， 測(cè)量的準(zhǔn)確度基本上就等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度， 而與零示器的準(zhǔn)確度無(wú)關(guān)， 從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 補(bǔ)償法測(cè)電容 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4. 對(duì)照法又叫交換法， 適于在對(duì)稱的測(cè)量裝置中用來(lái)檢查其對(duì)稱性是否良好， 或從兩次測(cè)量結(jié)果的處理中削弱或消除系統(tǒng)誤差。 現(xiàn)改用補(bǔ)償法測(cè)量， 如圖 ， 首先斷開(kāi) Cx， 調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電容 Cs使電路諧振， 設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn) 電容為 Cs1， 而后保持信號(hào)源頻率不變， 接入 Cx， 重新調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)電容使電路諧振， 設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電容量為 Cs2。 它是在測(cè)量條件不變的情況下， 用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代待測(cè)量， 通過(guò)調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變， 于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。 零示法是在測(cè)量中， 將待測(cè)量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較， 當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)， 零示器示值為零， 此時(shí)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測(cè)量的數(shù)值。 4. 剩余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)列各個(gè)剩余誤差的大小、 符號(hào)的變化規(guī)律， 以判斷有無(wú)系差及系差類型。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 研究系統(tǒng)誤差有利于判斷測(cè)量的正確性和可靠性， 有時(shí)還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。 xx?x?x第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 解 ： 計(jì)算得到 ∑vi=0， 表示 的計(jì)算正確。 由于隨機(jī)誤差的存在， 這些算術(shù)平均值也不相同， 而是圍繞真值有一定的分散性， 即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。 如果測(cè)量次數(shù)較少， 測(cè)量結(jié)果不屬于正態(tài)分布， 則必須根據(jù)具體的概率分布和測(cè)量次數(shù)以及置信概率引用其他的判斷準(zhǔn)則。 例如被舍掉的可能是 2或 1， 被進(jìn)位的可以認(rèn)為是 9 在圖 ， 概率密度為 ????????????????axbxbxaabx ,0 ,1)(?() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可以證明， 式 ()所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為 2baEx??() 方差為 12)( 22 ab ???() 標(biāo)準(zhǔn)差為 12ab ???() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3. 極限誤差 Δ 對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差， 根據(jù)式 ()可以算出隨機(jī)誤差落在［－ ζ, +ζ］區(qū)間的概率為 P{|δi|≤ζ}= 6 8 π21 222 ???????????? () 該結(jié)果的含義可理解為： 在進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)， 隨機(jī)誤差 δi落在［－ ζ, +ζ］區(qū)間的測(cè)得值的數(shù)目占測(cè)量總數(shù)目的%， 或者說(shuō)， 測(cè)得值落在［ Ex－ ζ, Ex+ζ］范圍 (該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間 )內(nèi)的概率 (在概率論中稱為置信概率 )為 。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 均勻分布的概率密度 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (1) 儀表度盤(pán)刻度誤差。 在大多數(shù)情況下， 測(cè)量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大， 隨著對(duì)期望值偏離的增大， 出現(xiàn)的概率急劇減小。 式中 δi取平方的目的是， 不論 δi是正是負(fù)， 其平方總是正的， 相加的和不會(huì)等于零， 從而可以用來(lái)描述隨機(jī)誤差的分散程度。 本節(jié)從工程應(yīng)用角度， 利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論， 研究隨機(jī)誤差的表征及對(duì)含有隨機(jī)誤差 1. 設(shè)對(duì)被測(cè)量 x進(jìn)行 n次等精度測(cè)量， 得到 n個(gè)測(cè)量值： x1, x2, x3, …, xn 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于隨機(jī)誤差的存在， n個(gè)測(cè)量值 (隨機(jī)變量 )的算術(shù)平均值為 ???niixnx11 () 式中， 當(dāng)測(cè)量次數(shù) n→∞ 時(shí)， 樣本平均值 的極限定義為測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望： xx????????? ????niinx xnE11lim () 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中， Ex 假設(shè)上面的測(cè)量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差， 則第 i次測(cè)量得到的測(cè)量值 xi與真值 A(前已敘述， 由于真值 A0一般無(wú)法得知， 因此通常以實(shí)際值 A代替 )間的絕對(duì)誤差就等于 隨機(jī)誤差， 即 Δxi=δi=xi－ A () 式中， Δxi、 δi分別表示絕對(duì)誤差和隨機(jī)誤差。 例如未按規(guī)程操作， 讀錯(cuò)讀數(shù)或單位， 記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 表中， Ri為第 i次測(cè)量值； 為測(cè)量值的算術(shù)平均值； vi=Ri－ ， 定義為殘差。 例如， 標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)隨環(huán)境溫度變化而變化， 因而實(shí)際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差 ΔE， 它遵循下面的規(guī)律： ΔE=E20－ Et =［ (t－ 20)+(t－ 20)2－ (t－ 20)3 + 06(t－ 20)4］ 10－ 6 (V) 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中， E20和 Et分別為環(huán)境溫度為 +20℃ 和 t℃ 時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)。 當(dāng)然， 偏差法測(cè)量在測(cè)量操作實(shí)施上要比后兩種方法方便得多。 圖中虛框代表一臺(tái)內(nèi)電阻 RV=10MΩ， 儀器工作誤差 (也稱不確定度 )為“ 177。 但在精密測(cè)量及計(jì)量中， 需根據(jù)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的溫度、 濕度、 電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差， 以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。 這在 【 例 4】 中已 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 使用誤差又稱操作誤差， 是由于對(duì)測(cè)量設(shè)備操作不當(dāng)而造成的誤差。 1% 可見(jiàn)， 此時(shí)相對(duì)誤差很大， 沒(méi)有充分發(fā)揮 4 位數(shù)字電壓表的較高準(zhǔn)確度的優(yōu)勢(shì)。 % 11Δxx第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (2) 用 200 V擋測(cè)量， 絕對(duì)誤差為 Δx2=177。 1個(gè)字， 試分析 解： (1) 用 2 V擋測(cè)量， 仿照式 ()， 絕對(duì)誤差為 Δx1=177。 %是以相對(duì)形式給出的誤差； 第二項(xiàng)是以絕對(duì)形式給出的誤差。 滿量程的 %。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例如， DS33型交流數(shù)字電壓表就是用上述四種誤差標(biāo)注的。 其缺點(diǎn)是： 工作誤差是在最不利的組合條件下給出的， 而實(shí)際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性并不大。 為了保證測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確可靠， 必須對(duì)測(cè)量?jī)x器本身的誤差有一定要求。 3%。 ℃ ， 因此示值相對(duì)誤差為 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 %%100100 %100Δ111 ???????xxx? 同樣可算出用 相對(duì)誤差為 %%100100 %100Δ111 ???????xxx?100?Δx2=Δxm2=γm2 xm=177。 比如某電壓表 s=， 即表明它的準(zhǔn)確度等級(jí)為 ， 它的滿度誤差不超過(guò) %， 即 |γm|≤%(習(xí)慣上也寫(xiě)成γm=177。 1℃ 和 1400℃ 177。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 1. 絕對(duì)誤差定義為 Δx=x－ A0 () 式中， Δx為絕對(duì)誤差， x為測(cè)得值， A0為被測(cè)量真值。 依靠多次測(cè)量可以觀察測(cè)量結(jié)果一致性的好壞， 即精密度。 測(cè)量?jī)x器儀表的測(cè)得值與被測(cè)量真 值之間的差異稱為測(cè)量誤差。 100 3%177。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4. 測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值， 如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的 1 kg， 標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的 1 Ω， 標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出的電動(dòng)勢(shì) V， 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)發(fā)生器刻度盤(pán)上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率 100 kHz等。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2. 指定值 As 由于絕對(duì)真值是不可知的， 因?yàn)橐话阌蓢?guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn) (或基準(zhǔn) )， 以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指令值。 要想得到真值， 必須利用理想的量具或測(cè)量?jī)x器進(jìn)行無(wú)誤差的測(cè)量。 指定值也叫約定真值， 一般用來(lái)代替真值。 例如， 某電阻標(biāo)稱值為 1 kΩ， 誤差 177。 一般來(lái)說(shuō)， 示值與測(cè)量?jī)x表的讀數(shù)有區(qū)別， 讀數(shù)是儀器刻度盤(pán)上直接讀到的數(shù)字。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 7. 單次 (一次 )測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)待測(cè)量進(jìn)行一次測(cè)量的過(guò)程。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 8. 在保持測(cè)量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過(guò)程稱做等精度測(cè)量。 但僅用絕對(duì)誤差， 通常不能說(shuō)明測(cè)量的質(zhì)量。 如果沒(méi)有特殊說(shuō)明， 本書(shū)中涉及的絕對(duì)誤差按式 (2) 與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱為修正值， 一般用符號(hào) c表示 c=－ Δx=A－ x () 測(cè)量?jī)x器的修正值可通過(guò)檢定由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出， 它可以是表格、 曲線或函數(shù)表達(dá)式等。 xm=177。 由此可見(jiàn)， 測(cè)量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度， 只有在示值與滿度值相同時(shí)， 二者才相等 (不考慮其他因素造成的誤差， 僅考慮儀器誤差 )， 否則， 測(cè)量值的 上面由式 ()、 式 ()得出的為減小示值誤差而使示值盡可能接近滿度值的結(jié)論， 只適于正向刻度的一般電壓表、 電流表等類型的儀表。 分貝誤差是用對(duì)數(shù)表示誤差的一種形式， 單位為分貝 (dB)。 180 mV 因忽略 Ui誤差， 故電壓增益的絕對(duì)誤差為 1 5 8 0ΔΔio ?????UUA電壓增益的相對(duì)誤差為 %3%1 0 05 0 0 01 5 0Δu?????? A Ax?第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 電壓增益的分貝誤差為 γdB=20 lg(1+γx)=20 lg(1177。 在 度和穩(wěn)定性等都可用儀器的容許誤差來(lái)表征。 基準(zhǔn)條件如表 。滿量程的 %。 例如國(guó)產(chǎn) SX1842型四位半顯示 直流數(shù)字電壓表， 在 2 V擋的容許誤差 (工作誤差 )為 177。 1個(gè)字誤差。 3 10－ 4177。 3 10－ 4177。 22Δxx21第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 為了減小測(cè)量誤差， 提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度， 必須明確測(cè)量誤差的主要來(lái)源， 以便估算測(cè)量誤差并采取相應(yīng)措 儀器誤差又稱設(shè)備誤差， 是由于設(shè)計(jì)、 制造、 裝配、 檢定等的不完善以及儀器使用過(guò)程中元器件老化， 機(jī)械部件磨損， 疲勞等而使測(cè)量?jī)x器設(shè)備帶有的誤差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 人身誤差主要指由于測(cè)量者感官的分辨能力、 視覺(jué)疲勞、 固有習(xí)慣等對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。 例如當(dāng)用平均值檢波器測(cè)量交流電壓時(shí)， 平均值檢波器的輸出正比于被測(cè)正弦電壓的平均值 ， 而交流電壓表通常以有效值 U定度， 兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系： UUKUU ???? F22π() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中， KF=π/2 ， 稱為定度系數(shù)。 試分析儀器誤差和方法誤差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如果系差的大小、 符號(hào)不變而保持恒定， 則稱為恒定系差， 否則稱為變值系差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 歸納起來(lái)， (1) 測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制作上的缺陷。 RRR第 2