【正文】 章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 電阻測(cè)量值的隨機(jī)誤差 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由表 (1) 正誤差出現(xiàn)了 7次， 負(fù)誤差出現(xiàn)了 6次， 兩者基本相等， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等， 反映了隨機(jī)誤差的對(duì) (2) 誤差的絕對(duì)值介于 (0, )、 （ , )、 (, )、 (, )、 (, )區(qū)間和大于 1， 反映了絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大， 絕 (3) ∑vi=0， 正負(fù)誤差之和為零， 反映了隨機(jī)誤差的抵償性。 這類(lèi)變化雖然也帶有隨機(jī)性， 但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值， 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 上述對(duì)誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分具有相對(duì)性， 某些情況可互相轉(zhuǎn)化。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2. 當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)， 各次測(cè)得值與算術(shù)平均值之差稱(chēng)為剩余誤差或殘差， 其定義為 vi=xi－ () 對(duì)式 ()兩邊分別求和， 有 x? ? ??? ? ????????nininiiiinii xnnxxnxv1 1 1101() 式 ()表明， 當(dāng) n足夠大時(shí)， 殘差的代數(shù)和等于零， 這一性質(zhì)可用來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于實(shí)際測(cè)量中 δi都帶有單位 (mV、 μA等 )， 因而方差ζ2是相應(yīng)單位的平方， 使用不甚方便。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 xi的正態(tài)分布曲線(xiàn) 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 δi的正態(tài)分布曲線(xiàn) 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 設(shè)測(cè)量值 xi在 x~x+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為 P， 它正比于dx， 并與 x值有關(guān)， 即 P{xxix+dx}=φ(x) dx () 式中， φ(x)定義為測(cè)量值 xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)， 顯然有 P{－ ∞xi∞}= () 對(duì)于正態(tài)分布的 xi， 其概率密度函數(shù)為 ???? ? 1d)( xx?222)(eπ21)( ???xExx????() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 同樣， 對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差 δi， 有 222eπ21)( ????????() 由圖 (1) δ愈小， (δ)愈大， 說(shuō)明絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大； 相反， 絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概論小， 隨著 δ的增大， (δ)很快趨于零， 即超過(guò)一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn) (隨機(jī)誤差的有界性 ) ??第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (2) 大小相等、 符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等 (隨機(jī)誤差的對(duì)稱(chēng)性和抵償性 ) (3) ζ愈小， 正態(tài)分布曲線(xiàn)愈尖銳， 表明測(cè)得值愈集中， 精密度高； 反之， ζ愈大， 曲線(xiàn)愈平坦， 表明測(cè)得值分散， 正態(tài)分布又稱(chēng)高斯分布， 在誤差理論中占有重要的地位。 1(或幾個(gè)字 )”的誤差。 3ζ范圍內(nèi)的概率為 π21}2|{| 222 22????? ???????????iP() π21}3|{| 332 22????? ???????????iP() 即當(dāng)測(cè)得值 xi的置信區(qū)間為［ Ex－ 2ζ, Ex+2ζ］和［ Ex－ 3ζ, Ex+3ζ］時(shí)的置信概率分別為 。 當(dāng) n為有限值時(shí)， 我們用殘差 vi=xi－ 來(lái)近似或代替真正的隨機(jī)誤差 δi， 用 表示有限次測(cè)量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值， 可以證明： x??????niivn1211??() 式 ()稱(chēng)為貝塞爾公式。 = 177。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 這說(shuō)明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)， 更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。 1x2x1x 2x2221 ?? ?第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 實(shí)際測(cè)量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣， 系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同， 但仍有一些辦法可用來(lái)發(fā)現(xiàn)和判 1. 凡屬由于測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系差， 不難通過(guò)對(duì)測(cè)量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差， 甚至計(jì)算出系差的大小。 剩余誤差法主要用來(lái)發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 零示法原理圖 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 電位差計(jì)是采用零示法的典型例子。 首先接入未知電阻 Rx， 調(diào)節(jié)電橋使之平衡， 即 IP=0， 此時(shí)有 221RRRRx??() 由于 R R R3都有誤差， 因此若利用它們的標(biāo)稱(chēng)值來(lái)計(jì)算 Rx, 則 Rx也帶有誤差， 即 223311Δ)Δ)(Δ(ΔRRRRRRRRxx ?????() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 進(jìn)一步計(jì)算得到： 223311 ΔΔΔΔRRRRRRRRxx ???() 為了消除上述誤差， 現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻 Rs代替 Rx， 并在保持 R R R3不變的情況下通過(guò)調(diào)節(jié) Rs， 使電橋重新平衡， 因而得到： 223311ss Δ)Δ)(Δ(ΔRRRRRRRR?????() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 比較式 ()和式 ()， 得到： Rx+ΔRx=Rs+ΔRs () 可見(jiàn)， 測(cè)量誤差 ΔRx僅取決于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差 ΔRs， 而與 R R R3 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 替代法測(cè)量電阻 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3. 補(bǔ)償法相當(dāng)于部分替代法或不完全替代法。 現(xiàn)以圖 。 調(diào)節(jié)信號(hào)源頻率使電路諧振 (此時(shí)電壓表指示最大 )， 設(shè)諧振頻率為 f0， 可以算出： 020200 π41)(π21 CLfCCCLf xx?????() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 諧振法測(cè)電容 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可見(jiàn)， Cx與頻率 f0、 電感 L、 分布電容 C0都有關(guān)， 它們的準(zhǔn)確度 (尤其 C0， 常常很難給出具體準(zhǔn)確的數(shù)值 )都會(huì)對(duì) Cx的準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 電位差計(jì)原理圖 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2. 替代法又稱(chēng)置換法。 尤其對(duì)于精密測(cè)量， 測(cè)量環(huán)境的影響不能忽視， 必要時(shí)應(yīng)采取穩(wěn)壓、 恒溫、 電磁 (4) 條件許可時(shí)， 可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器， 以減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來(lái)的系統(tǒng) (5) 提高測(cè)量人員的學(xué)識(shí)水平、 操作技能， 去除一些不良習(xí)慣， 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 1. 。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3. 系差常與測(cè)量條件有關(guān)， 如果能改變測(cè)量條件， 比如更換測(cè)量人員、 測(cè)量環(huán)境、 測(cè)量方法等， 則根據(jù)對(duì)分組測(cè) 校準(zhǔn)和比對(duì)法、 改變測(cè)量條件法都屬于實(shí)驗(yàn)對(duì)比法， 一般用來(lái)發(fā)現(xiàn)恒值系差。 欲削弱或消除系差的影響， 必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因， 根據(jù)所研究問(wèn)題的特殊規(guī)律， 依靠測(cè)量者的學(xué)識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)， 采取不同的處理方法。 3 【 例 1】 用電壓表對(duì)某一電壓測(cè)量 10次， 設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差， 測(cè)得數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算值如表 ， 試給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。 有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn) 仍以表 ， 可以算出： ??12 ?? ??niivn?第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 5. 如果在相同條件下將同一被測(cè)量分成 m組， 每組重復(fù) n次測(cè)量， 則每組測(cè)得值都有一個(gè)平均值 。 另外， 按照 |vi|3ζ來(lái)判斷壞值是在進(jìn)行大量等精度測(cè)量、 測(cè)量數(shù)據(jù)屬于正態(tài)分布的前提下得出的， 通常將這個(gè)原則稱(chēng)為萊特準(zhǔn)則， 該準(zhǔn)則使用起來(lái)比較方便。 去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。 在電子測(cè)量中常見(jiàn)的有下列幾種情況。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 理論和測(cè)量實(shí)踐都證明， 測(cè)量值 xi與隨機(jī)誤差 δi都按一定的概率出現(xiàn)。 方差定義為當(dāng) n→∞ 時(shí)測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值， 即 ??????nixin Exn122 )(1lim?() 因?yàn)殡S機(jī)誤差 δi=xi－ Ex， 所以 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 ?????niin n122 1lim ??() 式中， ζ2稱(chēng)為測(cè)量值的樣本方差， 簡(jiǎn)稱(chēng)方差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如前所述， 多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (2) 測(cè)量操作疏忽和失誤。 由于隨機(jī)誤差具有上述特點(diǎn)， 因此可以通過(guò)對(duì)多次測(cè)量取平均值的辦法來(lái)減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響， 或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法 表 15次等精度測(cè)量的結(jié)果。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 系統(tǒng)誤差的特征 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是： 只要測(cè)量條件不變， 誤差即為確切的數(shù)值， 用多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變或消除系差， 而當(dāng)條件改變時(shí)， 誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化， 具有可重復(fù)性。 實(shí)際上由式 ()可以得到： oVss 1 URRU???????? ?? () 利用式 ()修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)得到： 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 V 0 3 2 2 2 101017s4?????????? ??U 如果我們不用上面的偏差法原理測(cè)量 Uo， 而改用第 1章中提到的零位法或微差法測(cè)量， 則將基本避免方法誤差 (見(jiàn) )。 U2 2第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【 例 1】 ， 現(xiàn)重畫(huà)于圖 。 當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)， 影響誤差通?？刹挥杩紤]。 量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差， 減小由它帶給測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。 相對(duì)誤差為 γx2= =177。 相對(duì)誤差為 γx1= 100%=177。 %177。 1 (V) () ?????? 位214999 192第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中， 第一項(xiàng) 177。 %177。 常以相對(duì)誤差形式給出或者注明最長(zhǎng)連續(xù)工作時(shí)間。 這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是： 對(duì)使用者非常方便， 可以利用工作誤差直接估計(jì)測(cè)量結(jié)果誤差的最大范圍。 例如， 某衰減器的標(biāo)稱(chēng)值為 20 dB， 經(jīng)檢定為 dB， 則其分貝誤差為 Δx=20－ =－ dB 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 測(cè)量?jī)x器的誤差是產(chǎn)生測(cè)量誤差的主要因素。 若令 AAΔA ??xx AAΔ??， ，并設(shè) γA≈γx, 則式 ()可改寫(xiě)成： γdB=20 lg(1+γx) (dB) () 式 () 若測(cè)量的是功率增益， 則因?yàn)楣β逝c電壓呈平方關(guān)系， 并考慮對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則， 所以這時(shí)的分貝誤差定義為 γdB=10 lg(1+γx) (dB) () 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【 例 4】 某電壓放大器， 當(dāng)輸入端電壓 Ui= mV時(shí)， 測(cè)得輸出電壓 Uo=6000 mV， 設(shè) Ui誤差可忽略， Uo的 測(cè)量誤差 γ2=177。 xm1= ℃ 按照誤差整量化原則， 認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤差 Δx1=Δxm1 =177。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【 例 2】 某 xm=100 μA， 求測(cè)量值分別為 x1=100 μA, x2=80 μA， x3=20 μA時(shí)的絕對(duì)誤差和示 解 ： 由式 ()得絕對(duì)誤差為 Δxm=γm xm () 我國(guó)電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí) s就是按滿(mǎn)度誤差 γm分級(jí)的， 按 γm大小依次劃分為 、 、 、 、 、 級(jí)。 因此， 為了表明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度， 一種方法是將測(cè)得值與絕對(duì)誤差一起列出， 如上面的例子可寫(xiě)成 37℃ 177。 等精度測(cè)