計(jì)算方法第一講ppt課件-閱讀頁
2025-05-18 07:08本頁面
【正文】 , 0 , 1 , 2 , , 71( 1 ) /nxnnnnnI e x e dx nI nII I n?????????? 第一種算法 第二種算法 真正值 I0 I1 I6 I7 由此可見 ， 舍入誤差對(duì)計(jì)算有影響 ， 影響小的算法稱為 數(shù)值穩(wěn)定 的算法 。 再計(jì)算一些復(fù)雜的函數(shù)的值 ， 有時(shí)我們用一些簡單的函數(shù) （ 如多項(xiàng)式 、 有理函數(shù)等 ） 來近似之 ， 這稱為函數(shù)逼近 。 167。 對(duì)實(shí)際問題的研究需要建立數(shù)學(xué)模型 ， 這帶來 模型誤差 。 求解數(shù)學(xué)問題時(shí) ， 由于算法而引起的誤差稱為 方法誤差 （ 截?cái)嗾`差 ） 。 實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題 可計(jì)算問題 數(shù)學(xué)建模 構(gòu)造算法 計(jì)算求解 計(jì)算結(jié)果 （模型誤差） （方法誤差） （舍入誤差、輸入數(shù)據(jù)誤差） 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 設(shè) x為真正值 ， 為近似值 ， 稱： 為近似值的 絕對(duì)誤差 （ 簡稱 誤差 ） 通常我們要求絕對(duì)誤差不能超過某個(gè)值 ?， ?稱為 絕對(duì)誤差限 或 誤差限 。 如果存在 ?r， 使得 ， 稱之為 相對(duì)誤差限 。 xxx1102nxx ?? ? ?例如，若 x= π = 顯然，近似值的絕對(duì)誤差越小，其準(zhǔn)確到 小數(shù)后的位數(shù)越多。 具有 k 位有效數(shù)字，則易知 )0(~ 121 ???? aaaax mk?)1(12110211021|)(| ???????? kmknaaaax??若 這說明近似值的相對(duì)誤差越小，其有效數(shù)字越多。 一般地 ， 設(shè)數(shù)學(xué)問題的解為 , 近似解為： 則絕對(duì)誤差為： 相對(duì)誤差為： 12( , , , )ny x x x??12( , , , )ny x x x??1 2 1 2121( ) ( , , , ) ( , , , )( , , , )()nnnnii iy y y x x x x x xx x xxx????? ? ? ? ???????? ????? niiinni xxxxxxxxxyyy12121)(),(),()()( ???? ?? 和 起對(duì)誤差的放大和縮小作用 ， 其絕對(duì)值分別稱為所求解的數(shù)學(xué)問題的絕對(duì)誤差下的條件數(shù)和相對(duì)誤差下的條件數(shù) 。 但由于這類問題數(shù)據(jù)的微小變化會(huì)引起解的劇烈變化 ， 對(duì)于這類問題的計(jì)算 ， 一般要采用 高精度計(jì)算 ， 或改變問題的提法 ， 降低條件數(shù) 。 設(shè)計(jì)算機(jī)字長為 t， 任意數(shù) x十進(jìn)制是按舍入原則表為浮點(diǎn)數(shù) 則相對(duì)誤差的絕對(duì)值 )1()1(110211021|)(| ???? ???? ttax?)0()( 121 ???? aaaaxfl mt? 記 稱 ?為計(jì)算機(jī)的相對(duì)精度 。 計(jì)算數(shù)學(xué)的特點(diǎn)： 面向計(jì)算機(jī) （ 構(gòu)造計(jì)算機(jī)能用的算法 ） ； 要有可靠的理論分析 （ 指誤差 、 算法的收 斂性 、 穩(wěn)定性等 ） ； 要有好的計(jì)算復(fù)雜性 （ 指算法省時(shí) 、 節(jié)省 內(nèi)存 ） ； 要有數(shù)值試驗(yàn) (檢驗(yàn)算法及程序的正確性 ) 避免誤差危害的若干原則： 避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的 除法 。 （ 危害：引起有效數(shù) 字的嚴(yán)重?fù)p失 ） 防止大數(shù)吃掉小數(shù) 。 （ 可以節(jié) 省計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)間 ， 更可以減少舍入誤差 ）
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