計算方法第一講ppt課件(更新版)
【正文】 )1()1)(())((21321322321321??????????????????????xxxxxxxxxxflxfl通常稱舍入誤差對計算結(jié)果影響不大的算法為 穩(wěn)定的算法 ， 反之為 不穩(wěn)定的算法 。 （ 危害：導(dǎo)致舍入誤差增大 ） 避免相近兩數(shù)相減 。 數(shù)據(jù)誤差的影響 數(shù)據(jù)誤差的影響 對兩個數(shù) x1和 x2， 簡單計算可得： 1 2 1 2121 2 1 21 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x x xxxx x x xx x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???1 2 2 1 1 21 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x xx x x x? ? ?? ? ? ? ???11 2 1 2 2221 2 1 2( / ) ( ) / ( )( / ) ( ) ( )xx x x x xxx x x x? ? ?? ? ? ? ???11( ) ( ) , ( ) ( )22x x x xx??? ? ? ? 可見 ， 當(dāng) x1和 x2同號時 ， 反之 ， 當(dāng) x1和 x2異號時 ， 尤其 1 2 2 11 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x x xx x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?1 2 1 2 2 10 , ( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?這表明 ， 大小接近的異號數(shù)相加或大小接近的同號數(shù)相減 ， 會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字 ！ 乘數(shù)絕對值很大 ， 或除數(shù)接近零時 ， 可能會嚴(yán)重擴(kuò)大絕對誤差 ， 減少精度 ！ 開方會減少相對誤差 ， 提高精度 。 在實際計算中 ， 相對誤差限很小時 ， 也?。? x( ) ( ) / ( ) /x x x x x x? ? ? ? ?x( ) ( ) / ( ) / rx x x x x x??? ? ? ? ?x( ) ( ) / ( ) /x x x x x x? ? ? ? ? 如果 的誤差限為 10n， 即 則稱其準(zhǔn)確到小數(shù)后第 n位，并稱 的第一個非零數(shù)字到第 n位的全部數(shù)字為 的有效數(shù)字。 2 誤差及有關(guān)概念 真實值與我們所獲得的值之間的差異就是 誤差 。 但對于非病態(tài)的良態(tài)問題 ， 如算法不當(dāng) ， 由于計算機(jī)的近似性 ， 有時也可能得到不可靠的結(jié)果 。 例 3：計算多項式 x = a時 p(a)的值 。 ? 數(shù)學(xué)問題源于物理，天文，勘測等 ? 在僅使用紙，筆，大腦，而不是計算機(jī)進(jìn)行計算時，算法效率尤為重要。 這是多項式計算的 秦九韶 算法 。 9 80?2 1 010 ( 0. 31 97 ) 10 ( 0. 24 56 ) 10 ( 0. 13 52 )??例：如在尾數(shù)為 4位的計算機(jī)上計算 按兩種不同遞推計算 ， 結(jié)果為： 11011, 0 , 1 , 2 , , 71( 1 ) /nxnnnnnI e x e dx nI nII I n?????????? 第一種算法 第二種算法 真正值 I0 I1 I6 I7 由此可見 ， 舍入誤差對計算有影響 ， 影響小的算法稱為 數(shù)值穩(wěn)定 的算法 。 求解數(shù)學(xué)問題時 ， 由于算法而引起的誤差稱為 方法誤差 （ 截斷誤差 ） 。 但由于這類問題數(shù)據(jù)的微小變化會引起解的劇烈變化 ， 對于這類問題的計算 ， 一般要采用 高精度計算 ， 或改變問題的提法 ， 降低條件數(shù) 。 （ 可以節(jié) 省計算機(jī)計算時間 ， 更可以減少舍入誤差 ）
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