拋物線簡單幾何性質典型例題-閱讀頁
2025-04-09 02:27本頁面
【正文】 幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應充分考慮正方形這一條件．典型例題十例10 設有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為時，經過地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離．分析：利用拋物線有關性質求解．解：如圖，設彗星軌道方程為，焦點為，彗星位于點處．直線的方程為．解方程組得，故．．故，得．由于頂點為拋物線上到焦點距離最近的點，所以頂點是拋物線上到焦點距離最近的點．焦點到拋物線頂點的距離為，所以彗星與地球的最短距離為或，（點在點的左邊與右邊時，所求距離取不同的值）．說明：(1)此題結論有兩個，不要漏解；(2)本題用到拋物線一個重要結論：頂點為拋物線上的點到焦點距離最近的點，其證明如下：設為拋物線上一點，焦點為，準線方程為，依拋物線定義，有，當時，最小，故拋物線上到焦點距離最近的點是拋物線的頂點．典型例題十一例11 如圖，拋物線頂點在原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、四點，求的值．分析：本題考查拋物線的定義，圓的概念和性質，以及分析問題與解決問題的能力，本題的關鍵是把轉化為直線被圓錐曲線所截得的弦長問題．解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為，設拋物線方程為，∵為已知圓的直徑，∴，則．設、∵，而、在拋物線上，由已知可知，直線方程為，于是，由方程組消去，得，∴．∴，因此，．說明：本題如果分別求與則很麻煩，因此把轉化成是關鍵所在，在求時，又巧妙地運用了拋物線的定義，從而避免了一些繁雜的運算．第 12 頁 共 12 頁。
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