拋物線簡單幾何性質(zhì)典型例題-在線瀏覽
2025-05-12 02:27本頁面
【正文】 ，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程．分析：設(shè)出直線和拋物線的方程，由點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入拋物線方程．或設(shè)，利用對稱的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識求解．解法一：設(shè)拋物線的方程為，直線的方程為，則有點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為、則有解得解得如圖，、在拋物線上∴兩式相除，消去，整理，得，故，由，得．把代入，得．∴直線的方程為，拋物線的方程為．解法二：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于的對稱點(diǎn)為、又設(shè)，依題意，有，．故，．由，知．∴，．又，故為第一象限的角．∴、．將、的坐標(biāo)代入拋物線方程，得∴，即從而，∴，得拋物線的方程為．又直線平分，得的傾斜角為．∴．∴直線的方程為．說明：(1)本題屬于點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題．解法一是解對稱點(diǎn)問題的基本方法，它的思路明確，但運(yùn)算量大，若不仔細(xì)、沉著，難于解得正確結(jié)果．解法二是利用對稱圖形的性質(zhì)來解，它的技巧性較強(qiáng)，一時難于想到．(2)本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程．在已知曲線的類型求曲線方程時，這種方法是最常規(guī)方法，需要重點(diǎn)掌握．典型例題九例9 如圖，正方形的邊在直線上，、兩點(diǎn)在拋物線上，求正方形的面積．分析：本題考查拋物線的概念及其位置關(guān)系，方程和方程組的解法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及分析問題、解決問題的能力．解：∵直線，∴設(shè)的方程為，且、．由方程組，消去，得，于是，∴(其中)∴．由已知，為正方形，∴可視為平行直線與間的距離，則有，于是得．兩邊平方后，整理得，∴或．當(dāng)時，正方形的面積．當(dāng)時，正方形的面積．∴正方形的面積為18或50．說明：運(yùn)用方程（組）的思想和方法求某些幾何量的值是解析
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