拋物線簡單幾何性質(zhì)典型例題(參考版)
2025-03-28 02:27本頁面
【正文】 典型例題一例1 過拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q，通過點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，如何證明直線MQ平行于拋物線的對稱軸？解：思路一：求出M、Q的縱坐標(biāo)并進(jìn)行比較，如果相等，則MQ//x軸，為此，將方程聯(lián)立，解出直線OP的方程為即令，得M點(diǎn)縱坐標(biāo)得證．由此可見，按這一思路去證，運(yùn)算較為繁瑣．思路二：利用命題“如果過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩上交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為、那么”來證．設(shè)、并從及中消去x，得到，則有結(jié)論，即．又直線OP的方程為， ，得．因?yàn)樵趻佄锞€上，所以．從而．這一證法運(yùn)算較?。悸啡褐本€MQ的方程為的充要條件是．將直線MO的方程和直線QF的方程聯(lián)立，它的解（x ,y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo)，消去的充要條件是點(diǎn)P在拋物線上，得證．這一證法巧用了充要條件來進(jìn)行逆向思維，運(yùn)算量也較小．說明：本題中過拋物線焦點(diǎn)的直線與x軸垂直時(shí)（即斜率不存在），容易證明成立．典型例題二例2 已知過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn)，求△RAB的最大面積．分析：求RAB的最大面積，因過焦點(diǎn)且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可．解：設(shè)AB所在的直線方程為．將其代入拋物線方程，消去x得當(dāng)過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時(shí)，△RAB的面積有最大值．設(shè)直線l方程為．代入拋物線方程得由得，這時(shí)．它到AB的距離為∴△RAB的最大面積為．典型例題三例3 直線過點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，直線過P和拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線的斜率為k．（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)；（2）求出
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