【正文】 )=(1+i)t ? (3) 在實(shí)際利率的條件下 : a1(t)=(1+i1)1(1+i2)1… (1+i t)1 ? (4) 在名義利率的條件下 : a1(t)=(1+i(m)/m)mt ? 已知貼現(xiàn)率，求 a(t). ? (1)在單貼現(xiàn)率的條件下 : a(t)=(1dt)1 (0≦ t﹤ 1/d) ? (2)在復(fù)貼現(xiàn)率的條件下 : a(t)=(1d)t ? (3)在實(shí)際貼現(xiàn)率的條件下 : a(t)=(1d1)1(1d2)1… (1 dt)1 ? (4)在名義貼現(xiàn)率的條件下 : a(t)=(1d(m)/m)mt ? 已知貼現(xiàn)率，求 a1(t) ? (1)在單貼現(xiàn)率的條件下 : a1(t)=1dt ? (2)在復(fù)貼現(xiàn)率的條件下 : a1(t)=(1d)t ? (3)在實(shí)際貼現(xiàn)率的條件下 : a1(t)=(1d1)(1d2)(1dt) ? (4)在名義貼現(xiàn)率的條件下 : a1(t)=(1d(m)/m)mt 利息問題求解 ? 利息問題求解四要素 ? 原始投資本金 ? 投資時(shí)期長(zhǎng)度 ? 利率及計(jì)息方式 ? 期初 /期末計(jì)息：利率 /貼現(xiàn)率 ? 積累方式：?jiǎn)卫?jì)息、復(fù)利計(jì)息 ? 利息轉(zhuǎn)換時(shí)期：實(shí)質(zhì)利率、名義利率、利息效力 ? 本金在投資期末的積累值 利息問題求解原則 ? 本質(zhì)：任何一個(gè)有關(guān)利息問題的求解本質(zhì)都是對(duì)四要素知三求一的問題 ? 工具：現(xiàn)金流圖 ? 方法：建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程） ? 原則：在任意時(shí)間參照點(diǎn)，求值方程等號(hào)兩邊現(xiàn)時(shí)值相等。其中前 4年以半年度轉(zhuǎn)換名義利率 5%復(fù)利計(jì)息，后三年以恒定利息力 3%計(jì)息，問到第 7年末此人可獲得多少積累值？ 答案 8 3 2 3 28 0 . 0 9 2 0 . 0 9 0 . 0 6( 7 ) 10 00 ( 1 ) 20 00 ( 1 ) 20 0010 00 1. 02 5 20 00 1. 02 5 20 005756A j e j e ee e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? 年金： 在一定時(shí)期內(nèi)在相等的時(shí)間間隔上所作的一系列給付 。 如 ， 房屋的租金 、 抵押貸款 、 分期付款 、 利息付款 、 保險(xiǎn)費(fèi)的繳納 、 保險(xiǎn)費(fèi)的領(lǐng)取及養(yǎng)老金 、 手機(jī)和電話的月租費(fèi) 、 公用事業(yè)費(fèi)等 。 ? 分類 ? 基本年金 （比如 等額年金：間隔周期相等的等額資金流） ? 等時(shí)間間隔付款 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 ? 每次付款金額恒定 ? 一般年金 ? 不滿足基本年金三個(gè)約束條件的年金即為一般年金 年金的種類 確定年金和風(fēng)險(xiǎn)年金： 確定年金的支付時(shí)間和支付金額事先確定 風(fēng)險(xiǎn)年金的支付時(shí)間和支付金額不確定 定期年金和永續(xù)年金： 定期年金的支付期限是有限期間 ， 有固定的到期日 。 股息 休息 期初付年金和期末付年金： 期初付年金的支付是在每個(gè)周期的期初 。 月末發(fā)工資和養(yǎng)老金 即期年金和延期年金： 即期年金是指當(dāng)期開始支付 ， 延期年金是指一定時(shí)期后開始支付 等額年金和變額年金： 等額年金的每期支付額相等 ， 變額年金的每次支付額不全相等 ? 確定年金 ：年金的一種形式 ， 只要事先約定 ， 就必定支付的年金 。為此他打算每年年底存入一筆錢，最后一次存款將在投資時(shí)期結(jié)束前一年。若實(shí)際利率為年率9%，試對(duì)下面三種還款方式比較其利息總量： 1）第 10年末，本金利息一次還清 2）每年支付利息，本金第 10年末歸還 3）貸款在 10年期內(nèi)按每年付款數(shù)相同的原則還清 解： . 3)(1000)10()1 10??????利息A2）每年的利息 =1000 =90，所以支付的利息總量為 90 10=900元 3）設(shè)相等的付款為 R, 0 0 4 1 6 7 5 1 0 0 0,1 0 0 0,10???????利息總量RRa為何第三種方式的利息較小 例題 某銀行客戶想通過零存整取的方式在 1年后獲得 10000元，在月復(fù)利 %的情況下，每月初需要存入多少錢，才能達(dá)到其要求？ 解：依具題意；設(shè)每月初的存款額為 D，有 10000s10000D,10000sD10000sD,12,12ni???????????年金現(xiàn)值與終值的關(guān)系 年金現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系： （ 1）期末付定期年金的終值與其現(xiàn)值的關(guān)系 ? ?nnini ias ?? 1（ 2） 期初付定期年金的終值與其現(xiàn)值的關(guān)系 ? ? nnini ias ?? 1????年金現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系 （ 1）期末付定期年金： （ 2）期初付定期年金 isanini?? 11dsanini?? ???? 11年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值 年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值 年金在支付期限內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)上的值 年金在支付期限結(jié)束后任意時(shí)點(diǎn)上的值 假定：計(jì)算的日期離開每次付款日期為整數(shù)個(gè)時(shí)期。 一般而言 ， 一項(xiàng)經(jīng)過 m次付款 （ m﹤ n） 的 n個(gè)時(shí)期年金 ，其當(dāng)前值為： mnmnmnmn assvia ?? ???? )1(對(duì)期初付年金而言： mnm as ?? ????年金在支付期結(jié)束后任意時(shí)點(diǎn)上的值 計(jì)算原則： 先計(jì)算年金的終值，再按復(fù)利往后累計(jì)，計(jì)算出累計(jì)值即可。（ ） 已知 a7=5135， a11 =7036， a18=9180，計(jì)算 i (%) 從 1990年 6月 7日開始，每季度年金 100元，直到 2022年 12月 7日，季度結(jié)算的年利率為 6%。 （ ， ） 年金的利率問題求解 任何一個(gè)年金問題都包含四個(gè)變量： 1）現(xiàn)值或終值 (a,s) 2）收付額 (R) 3）利率 ( i) 4）支付期數(shù) (n) 計(jì)算其中的未知利率 :1）建立求值方程 2）求解未知的利率 可以用： 1）解析法， 2）線性插值法； 3）迭代法 基本年金圖示 0 1 2 3 n n+1 n+2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 延付永久年金 初付永久年金 延付年金 初付年金 基本年金公式推導(dǎo) 211( 1 ) 1111 ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 ) 11 ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )1 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11l i m l i m11l i m l i mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnv v va v v vviva v v i adiis i iiiis i i i sdvaaiivaadd???? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?例 ? 有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，假如每年發(fā)出 5萬元獎(jiǎng)金，問在年實(shí)質(zhì)利率為 20%的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至少為多少？ 55 2 50 .2Pa?? ? ?? 利息理論在人身保險(xiǎn)定價(jià)中的運(yùn)用 ? 保險(xiǎn)人應(yīng)在其所收入的保險(xiǎn)費(fèi)中設(shè)立責(zé)任準(zhǔn)備金用于其在以后要承擔(dān)的給付保險(xiǎn)金的責(zé)任。人壽保險(xiǎn)期限越長(zhǎng)，利息的作用就顯得越為重要，對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)率的影響也就越大。通常的情況下，保險(xiǎn)公司在厘定保險(xiǎn)費(fèi)率和進(jìn)行保險(xiǎn)投資是考慮的都是復(fù)利。 ? 人壽保險(xiǎn)合同的保險(xiǎn)金額是由合同當(dāng)事人雙方協(xié)議產(chǎn)生 。 ? 關(guān)于交費(fèi)能力： ? 1． 限制交費(fèi)年期 ? 2． 限制交費(fèi)比例 ? 3． 規(guī)定保險(xiǎn)金額不得超過被保險(xiǎn)人年收入的若干倍 ? ………… ? 關(guān)于被保險(xiǎn)人對(duì)保險(xiǎn)保障需求的分析： ? 1．本人需求： ? 2．他人需求： ? 考慮上述兩點(diǎn)，就可以粗略確定被保險(xiǎn)人的保險(xiǎn)金額了。 ? 關(guān)于人壽保險(xiǎn)合同的保險(xiǎn)金額確定方法人們進(jìn)行了廣泛的研究，這里介紹兩種具有代表性的方法： ? 1．“生命價(jià)值”理論（ The Concept of Human Life value） ? 2．“人身保險(xiǎn)設(shè)計(jì)”法（ The Method of Personal Insurance Programming） ? 1．“生命價(jià)值”理論（ The Concept of Human Life value） ? 該理論是美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)休布納（ ）教授在 1924年首次提出的。生命價(jià)值就是應(yīng)該投保的保險(xiǎn)金額。則收入分布如下圖： ? 10000 10000 ………10000 10000 ? ? 35 36 37 ……… 64 65 ? ? 假如平均的年利率為 8%，則由年金現(xiàn)值公式可以求出 30年期、每年收入 10 000元的年金現(xiàn)值為：（ 其中：） ? 10 000 =10 000 =112 （元） 假如某人現(xiàn)年 35 歲，已婚，每年能為家庭提供 10 000 元的凈收入，直到 65 歲退休時(shí)為止。如果該人死亡 ， 其家屬可以得到 120 000元的保險(xiǎn)金 ， 該保險(xiǎn)金以 8%的投資收益率進(jìn)行投資所產(chǎn)生的年投資收益為 9600元 ， 與該被保險(xiǎn)人生存時(shí)為家庭提供的凈收入基本相等 。 ? “ 人身保險(xiǎn)設(shè)計(jì) ” 法著眼點(diǎn)是被保險(xiǎn)人對(duì)保險(xiǎn)的需求 ， 適用于各種壽險(xiǎn)合同的保險(xiǎn)金額設(shè)計(jì) ， 但其設(shè)計(jì)的保險(xiǎn)金額存在與交費(fèi)能力不協(xié)調(diào)的矛盾 。 例 ? 某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率 %從銀行貸款 30萬元，計(jì)劃在 15年里每月末等額償還。 （ 1）求退休時(shí)個(gè)人帳戶的積累值。 答案 （ 1）退休時(shí)個(gè)人帳戶積累值計(jì)算 （ 2）退休后每年可領(lǐng)取退休金 3030 3% 1300 300 14700 / s ???303 0 3 %203 0 3 % 2 0 3 %2 0 3 %300 3 0 0 ( 1 . 0 3 1 )3 0 0 9 5 9 . 3 41 1 . 0 3ss X a Xa ??? ? ? ? ??基本年金公式總結(jié) 年金 有限年金 永久年金 現(xiàn)時(shí)值 積累值 現(xiàn)時(shí)值 延付 初付 iva nn?? 1iis nn1)1( ???dva nn?? 1??dis nn1)1( ?????ia1??da1???? 二、一般年金 ? 一般年金 ? 利率在支付期發(fā)生變化 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致 ? 每次付款金額不恒定 ? 分類 ? 支付頻率不同于計(jì)息頻率的年金 ? 支付頻率小于計(jì)息頻率的年金 ? 支付頻率大于計(jì)息頻率的年金 ? 變額年金 支付頻率不同于計(jì)息頻率年金 ?分類 ?支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率 ?支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率 ?方法 ?通過名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率相同的實(shí)際利率。 ?方法一 :利率轉(zhuǎn)換法 ?方法二 :年金轉(zhuǎn)換法 72022%%12%4????sii??）（ 4 4 5 73 8 2 2 22 0 0 0%3%12)4(??????sRRaRi????每季度實(shí)質(zhì)利率為?有一永久年金每隔 k年末付款 1元，問在年實(shí)質(zhì)利率為 i的情況下，該永久年金