[經(jīng)濟學]第二章謂詞邏輯-閱讀頁
2024-11-03 02:54本頁面
【正文】 ? ? ?12( ) ( ) . . . . ( )nA a A a A a? ? ? ? ? ? ?()x A x? ? ?量詞轄域擴張及收縮律 證明：僅對第一個式子證明，其余類推。 證明：僅證明第一個式子。 例：個體域是人的集合。 B(x)： x是男人。 為假； 為真。 ? P(x)： x是整數(shù)； ? Q(x)： x是實數(shù)。 ? P(x)： x是人； ? Q(x)： x犯錯誤。 ? P(x)： x10； ? Q(x)： x是偶數(shù)。 ? P(x)： x是學生； ? Q(x)： x鍛煉身體。 ? P(x)： x是獅子； ? Q(x)： x愛喝咖啡。 ? P(x)： x是黑貓。 ? R(x)： x是抓住老鼠的貓。 ? 符號化為： ? 有些人對某些食物過敏。 ? B(x)： x是食物。 ? 符號化為： ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) )x R x P x Q x G x? ? ? ?( ) ( ) ( ( ) ( ) ( , ) )x y A x B y C x y? ? ? ?謂詞公式的翻譯 ? 一切人不是一樣高。 ? Q(x,y)： x與 y一樣高。 ? 符號化為： ? 不是一切人都一樣高。 規(guī)則如下： ? 欲改名之變元應是某量詞作用范圍內(nèi)的變元，且應同時更改該變元在此量詞轄域內(nèi)的所有約束出現(xiàn)，而公式的其余部分不變。 ( ) ( ) ( ) ( )x P x y P y?? 等 價 于規(guī)則 1：約束變元的改名規(guī)則 ? 例：對公式 進行換名，使各變元只呈一種形式出現(xiàn)。規(guī)則如下： ? 欲改變自由變元的名，必改在公式中的每一處自由出現(xiàn)。 例：對公式 的變元 x,y的自由出現(xiàn)用 w,t代入，得 x ( P( x , y ) ( x , y , z ) ) S( x , z )yQ? ? ? ? x ( P( x , t) ( x , y , z ) ) S( w , z )yQ? ? ? ?例如 對公式 ( x) (P(x) →Q(x)) ∨ ( x) (P(x) →R(x)) 為清楚起見，可對第二個約束變元 x進行換名 ( x) (P(x) →Q(x)) ∨ ( y) (P(y) →R(y)) 又例如 對公式 ( x) (P(x) →R(x,y)) ∧ Q(x,y) 可對約束變元 x進行換名，得 ( z) (P(z) →R(z,y)) ∧ Q(x,y) ( z) (P(z) →R(x,y)) ∧ Q(x,y) ( y) (P(y) →R(y,y)) ∧ Q(x,y) 錯誤： ~ ~ ~ ~ 規(guī)則 3：命題變元的代換規(guī)則 ? 用任一謂詞公式 Ai代換永真公式 Ｂ 中某一命題變元Pi的所有出現(xiàn)，所得到的新公式 B180。 39。是 A的子公式。取代 A180。如果 A為永真式，則 B也是永真式。 規(guī)則 5：量詞的增加和刪除規(guī)則 ? 全稱特指規(guī)則 US：從 可得出結(jié)論 A(y) ，其中 y是個體域中任一個體，即： ? 注意： y不能和 A(x)中其它指導變元重名。 ( ) ( )x A x?( ) ( ) ( )x A x A y??( ) ( )x A x?( ) ( )x A x?( ) ( ) ( )x A x A a?? ? 命題邏輯中的兩種范式都可以直接推廣到謂詞邏輯中來，只要把原子命題公式換成原子謂詞公式即可， ? 根據(jù)量詞在公式中出現(xiàn)的情況不同，又可分為 前束范式 和 斯柯林范式 。 ( ) ( ) ( ) ( ( , ) ( , ) ( , , ) )x y z P x y Q x y R x y z? ? ? ? ?前束范式 ? 任意一個公式都可以轉(zhuǎn)化成與之等價的前束范式，方法如下： ? 消去公式中的聯(lián)結(jié)詞 和 → ，例如 ? 將公式內(nèi)的否定符號深入到謂詞變元前并化簡到謂詞變元前只有一個否定號； ? 利用 改名、代入規(guī)則 使所有的約束變元均不同名，且使自由變元與約束變元亦不同名； ? 擴充量詞的轄域至整個公式。 解： ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )x P x y R y x F x? ? ? ? ?( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )x P x y R y x F x? ? ? ? ?( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )x P x y R y x F x? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x P x y R y x F x? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x P x y R y z F z? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )x y z P x R y F z? ? ? ? ? ? ? ?斯柯林范式 ? 定義：如果前束范式中所有的存在量詞均在全稱量詞之前，則稱這種形式為 斯柯林范式 。 解： ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )x P x y Q y R z? ? ? ?( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) ( ) ( ( )()( ) ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )()( ) ( ) ((()x P x y Q y R zx P x y Q y R zx y P x Q y R zx y P x Q y z R zx y z P x Q y R zu x y z P x Q y R zG u G uux? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( , ) ( ) ( , )( ) ( ) ( ) (()) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( , ) ()()(,)()()()( (()) ))y z P x Q y R zG u G u H u x s H u su x y z s P x Q y R zG u G u H u x H u s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
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