彈性力學(xué)平面問題(9-10)-閱讀頁
2025-02-03 02:14本頁面
【正文】 ——應(yīng)力邊界條件 （ 1）按位移求解基本方程 （ 220） ——平衡方程 （ 2）按應(yīng)力求解平面問題的基本方程 （ 222） —— 形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程） 相容方程 （ 223） （平面應(yīng)力情形） 應(yīng)力表示的相容方程 （ 224） （平面應(yīng)變情形） （ 225） （體力 fx、 fy 為常數(shù)情形） （ 1）平衡方程 （ 22） （ 3）邊界條件： （ 218） （ 2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程） （ 223） （平面應(yīng)力情形） 按應(yīng)力求解的基本方程 常體力下可以簡化： 求解方法？ （ 兩種平面問題形式相同） （ 1） 體力 X、 Y 轉(zhuǎn)化為面力處理。 (a) (b) 式 (a)為非齊次方程，其解： 全解 = 齊次方程通解 平衡微分方程解的形式 (1) 特解 常體力下特解形式： +非齊次方程的特解。 將式 (d)第一式改寫為 由微分方程理論，必存在一函數(shù) A(x,y)，使得 (e) (f) 同理，將式 (d)第二式改寫為 (g) (h) 比較式 ( f )與 (h)，有 也必存在一函數(shù) B(x,y)，使得 (2) 通解 式 (a) 的齊次方程： (d) 的通解。 (3) 全解 取特解為： 則其全解為： (226) —— 常體力下平衡方程（ a）的全解。 φ(x,y) —— 平面問題的應(yīng)力函數(shù) —— Airy 應(yīng)力函數(shù) 相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示 (226) 將式（ 226）代入常體力下的相容方程： (225) 有： 注意到體力 fx、 fy 為常量，有 將上式展開，有 (227) —— 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。 式（ 227）可簡記為： 或： 式中： 滿足方程 (227)的函數(shù) φ(x,y) 稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)） 結(jié)論： 應(yīng)力函數(shù) φ應(yīng)為一重調(diào)和函數(shù) 按應(yīng)力求解平面問題（ fx = 常量、 fy = 常量）的歸結(jié)為： （ 1） (227) （ 2） 然后將 代入式（ 226）求出應(yīng)力分量： 先由方程（ 227）求出應(yīng)力函數(shù)： (226) （ 3） 再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。 然后利用應(yīng)力分量計算式（ 226），求出 （具有待定系數(shù)）； （ 3） 再利用應(yīng)力邊界條件式（ 218），來考察這些應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) 對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) 可以求解什么問題。 —— 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。 （兩類平面問題中基本方程的異同） 2. 平面問題的基本方程： 平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件（位移、應(yīng)力）。 相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）： （應(yīng)變表示形式、應(yīng)力表示形式、應(yīng)力函數(shù)表示。） 應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量表達式： (226) 常體力下的簡化； 應(yīng)力函數(shù)的求解方法： （逆解法、半逆解法。 按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟： 4. 應(yīng)力邊界條件的列寫及圣維南原理的應(yīng)用 . 5. 任意斜面上應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向；任意方向正應(yīng)變的計算。 ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS ZS《 Rock Mass Mechanics》 下一講再見！
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