彈性力學(xué)平面問(wèn)題(9-10)-在線(xiàn)瀏覽
2025-03-08 02:14本頁(yè)面
【正文】 由幾何方程的第三式得： 顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿(mǎn)足幾何方程的解。 （ 2）對(duì)應(yīng)力邊界問(wèn)題，且為單連通問(wèn)題，滿(mǎn)足上述方程的解是唯一正確解。 ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 例 8 下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。 例 8 下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。 例 9 圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P作用，不計(jì)體力。 解 材料力學(xué)解答： 式（ a）滿(mǎn)足平衡方程和相容方程？ （ a） 式（ a）是否滿(mǎn)足邊界條件？ 代入平衡微分方程： （ 22） 顯然，平衡微分方程滿(mǎn)足。 再驗(yàn)證，式（ a）是否滿(mǎn)足邊界條件？ —— 滿(mǎn)足 ——滿(mǎn)足 ——近似滿(mǎn)足 近似滿(mǎn)足 結(jié)論：式（ a）為正確解 代入相容方程： 0?上、下側(cè)邊界： 右側(cè)邊界： 左側(cè)邊界： 例 7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。 左側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式 右側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式，有 上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。 討論： （ 1） —— Laplace方程， 或稱(chēng)調(diào)和方程。 （但 （ b） 不同材料，具有相同外力和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同。 （ 3） 用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，代替平面?yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ?，為?shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。 常體力下體力與面力的變換 平衡方程 : 相容方程 : 邊界條件 : 令： 常體力下， 滿(mǎn)足的方程： (a) 將式 (b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有 (b) (c) (c) 表明： （ 1）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程（容易求解）； （ 2）變換后問(wèn)題的邊界面力改變?yōu)椋? 結(jié)論： 當(dāng)體力 X =常數(shù)， Y =常數(shù)時(shí)，可先求解無(wú)體力而面力為： 問(wèn)題的解： ，而原問(wèn)題的解為： ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS x y x y 例 10： p F A B C D E h h (a) 圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。 (2) 實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。 2. 平面問(wèn)題的基本方程： （ 1）平衡方程： （ 22） （ 2）幾何方程 ： （ 29） ——位移邊界條件 （ 4）邊界條件： （ 1） （ 2） ——應(yīng)力邊界條件 （ 3）物理方程： （ 215） ——平面應(yīng)力問(wèn)題 3. 平面問(wèn)題一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變分析 (b) 主應(yīng)力與應(yīng)力主向 （ 27） （ 28） (c) 最大、最小剪應(yīng)力及其方向 τmax、 τmin 的方向與 σ1 （ σ2 ） 成 45176。 (a) 任意斜面上應(yīng)力 或 4. 圣維南原理的應(yīng)用 （ d）任意斜方向的線(xiàn)應(yīng)變 （ 211） （ e）一點(diǎn)任意兩線(xiàn)段夾角的改變 （ 212） 若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。 P 次要邊界 5. 平面問(wèn)題的求解方法： （ 217） ——位移邊界條件 （ 221）
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