【正文】 討論： 1176。 要求出主平面的方向余弦 {n}，利用方程 ? ? }0{}{ ?? nijij ??? ? ? )3,2,1,(0 ??? jil jijij ???即 和 1222 ??? nml 聯(lián)立求解 l, m, n 代入 ： 1?展開(kāi)： 10)( 21321221111 ????? llll jijij ???10)(0)(0)(213212211113121113112111312111???????????????llllllllllllzyzxzzyyxyzxyxx????????????38 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 0000000321??????????聯(lián)立求解得到對(duì)應(yīng)于 所在主平面的方向余弦： 同理可求得： 1? ),( 1312111 llln?),( 23222122 llln???),( 33323133 llln???3 176。由此可知， 與坐標(biāo)系的選取無(wú) 關(guān)，稱為應(yīng)力不變量，分別地稱為第一、第二、第三應(yīng)力不變量。 （ 2）任意斜截面上的應(yīng)力： 斜截面上的應(yīng)力矢量： 1?1?3?3?2?2?321 , ???2323222221212 lllp N ??? ???? ????????????????????????????????????????????332211321321321000000llllllpppp N??????40 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 斜截面上的正應(yīng)力 σN 、切應(yīng)力 τN ： 233222211332211 llllplplpN ???? ??????2233222211232322222121222 )()( llllllp NNN ???????? ????????八面體應(yīng)力：（ 等傾面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力） 1 八面體：主應(yīng)力空間中法線方向 的斜截面，當(dāng) 時(shí)，是為等傾面。 **由于方位的不同，等傾面外法線方向余弦的數(shù)值相同，符號(hào) 不一定相同。4454 ???41 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 2 八面體平面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力 8? 8?131321312332222118 )( Illl ??????? ??????? （ 233） 221312132322213113322123222131232191232221312233222211232322222121862)()()()(2)(2)()()()(IIllllll??????????????????????????????????????????????????????（ 234） 由此可知，正八面體各面上的應(yīng)力分量是不變量。誠(chéng)然，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并不與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)系，但很顯然，作為描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的六個(gè)（獨(dú)立的）應(yīng)力分量，它們必然隨坐標(biāo)系的改變而改變。,39。:39。,co s ()39。,co s ()39。,co s ()39。,co s ()39。,co s (lkkljkliklkjljjlijlkiljilii?????????寫(xiě)成： 333231232221131211lllllllll 39。39。39。??????????????39。39。39。39。39。39。333231232221131211kjilllllllllkji(235) ′ 簡(jiǎn)記為： }39。39。(236) ′ 簡(jiǎn)記為： }{)(}39。 (235) (236) 44 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 〈 3〉 為了得出空間坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換，我們分別以 和 為基矢建立正交坐標(biāo)系 Oxyz和 Ox’y’z’，于是各坐標(biāo)軸間夾角的方 向余弦亦可寫(xiě)成上述的形式： kji , 39。,39。39。 zyxzyx〈 4〉 今給定一空間矢量 設(shè)在 Oxyz系中， 在 Ox39。z39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。333231232221131211zlylxlzzljlilyzlylxlx???????????????????????????????39。39。){(}{ xCx ? （ 241） ′ 或 45 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS ???????????????????????????????zyxlllllllllzyx33231332221231211139。39。{ xCx T? （ 242） 于是，按以上的分析，對(duì)空間任意矢量 {n}經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后成為 {n’}， 便有： }{)(}39。){(}{ nCn ?和 特別地，當(dāng) {n}為單位矢量時(shí)， {n’}也為單位矢量。( ij?])[(][)39。]([)( ?? ?（ 243） （ 244） 或 證明：事實(shí)上，由前面討論的應(yīng)力分量互換定理，在不同的坐標(biāo)系 中確定該點(diǎn)在 截面上的應(yīng)力矢量在 方向上的投影 ： n? 1n? 1NN?}){(}{ 11 nn ijTNN ?? ?}39。(}39。{ nCnT?}{])[39。]([)( ?? ?}39。{ 11 nCCn ijTTNN ?? ?}39。( CC ijTij ?? ? **思考： NN?47 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 〈 6〉 上面給出的應(yīng)力狀態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系對(duì)于主應(yīng)力和主應(yīng)變的討論 是有幫助的。 這是很顯然的，因?yàn)椋? 1176。 2176。 ])[(][)39。( ij? )( i?)( i?)( i? )( ij?)( ij?])[(][)( CC ijTi ?? ?由此： 注意到： ?????????????????????????????????????????333231232221131211332313322212312111321000000llllllllllllllllllzzyzxyzyyxxzxyx????????????48 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 即 }])[{(}][{)( iijTii nn ?? ? （ 245） 顯然有：把 變換成對(duì)角陣 的正交矩陣 [C] 是由應(yīng)力主平面的方位（對(duì)應(yīng)于各特征值的特征向量）組成的矩陣。 ]][[][]][[][ 1 TATTAT T ??〈 7〉 由于應(yīng)力狀態(tài)具有的這些特性，根據(jù)數(shù)學(xué)上的定義，確定一 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量 是一二階張量，并且由切應(yīng)力互等 定理， 是一個(gè)二階對(duì)稱張量。 體積改變：由于各向相等的正應(yīng)力引起的 。 2176。 應(yīng)力分解：任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) ， 根據(jù)以上特點(diǎn) ， 可以分解成 兩部分： 其中： 49 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS ij?ijij S?? ?????????????mmm????000000??????????????mzzyzxyzmyyxxzxymxijS????????????定義為球形應(yīng)力張量，簡(jiǎn)稱球張量，引起體積改變。 應(yīng)力狀態(tài)的幾何解釋： 1 應(yīng)力二次曲面： 考察一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的任意斜截面上的正應(yīng)力表示式： 50 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 831 )( ????? ???? zyxm而 }){(}{ nn ijTN ?? ? （ 214） 在直角坐標(biāo)系中，由于 前式兩邊同乘以 r2 ，便有： ???????????????????????zyxnmlrnrr }{}{}){(}{2 rrr ijTN ?? ? （ 246） 令 NKr ?22 ?? 便有： 2}){(}{ Krr ijT ??? （ 247） 展開(kāi)得： 此式給出一空間二次曲面的方程，“ +、 ”號(hào)的選取以使曲面為實(shí)面為原則。 式 （ 247） 的幾何解釋： 即在 Oxyz系中取一矢徑 r ， 其長(zhǎng)度與該方向的正應(yīng)力 存在關(guān)系 51 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTOPLASTICITY OF SOLIDS 22 Kr N ???NKr??N?2176。 步驟如下： a、作出應(yīng)力二次曲面。 c、由式 ，算出 的值。 0PSA r?Q d、過(guò) Q點(diǎn)做切面 QT（切面 Q點(diǎn)的法線是 N′） e、過(guò) P0點(diǎn)做切平面 QT 的垂線與 QT 交于 B 。 則矢量 P0E 便代表 S 平面上的應(yīng)力矢量， 切應(yīng)力用矢量 AE 來(lái)代表。 論證截面 S 上的應(yīng)力矢量 與 Q 點(diǎn)的法線方向 相一致。N?zxyzxyzyxzyxF zxyzxyzyx ?????? 222),(2 222 ??????（ 249） 便有： ????????????????????????????????NzyzzxzyzzxzFNyzyxyyzyxyyFNxzxyxxzxyxxFrZnmlrzyxrYnmlrzyxrXnmlrzyx)()()(??????????????????（ 250） 0PSA r?EB39。 ),(39。 由解析幾何知，二次曲線的形狀不隨坐標(biāo)系的不同而改變， 并且總可以經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，把二次曲線 (248)化成標(biāo)準(zhǔn)型： (252)