【正文】 itution of Eqs. ()() into physical Equations yields the axisymmetrical strain ponents. (4)求對應(yīng)的位移： ,rr??? ? ?? ?1124 ..,ru rr ???ε()rru d r f?????彈性力學(xué) 第四章 39 分開變量，兩邊均應(yīng)等于 同一常量 F, θ θ r ε θ u r 1 r u ? ? ? ? 1( ) ( )ru r u d f r?? ??? ? ??將 代入 第三式 ， ,ruu?? ? 1γ θθrr θ ??????11 () ()( ) ( )d f r dff r r f dd r d ? ???? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 40 由兩個常微分方程， 11 ()() d f rf r r Fdr??() ()df f d Fd? ??? ???22() ( ) 0df fd? ?? ??1 ()f r Hr F??( ) c os si nf I K? ? ???Which has a solution 彈性力學(xué) 第四章 41 其中 代入 ， 得 軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的位移通解， I， K— 為 x、 y向的剛體平移， H — 為繞 o點的剛體轉(zhuǎn)動角度。 （ 3）實現(xiàn)軸對稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對稱。 說明 彈性力學(xué) 第四章 43 (4) 軸對稱應(yīng)力及對應(yīng)的位移的通解 (d) 、 (e) 已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界 條件及多連體中的位移單值條件，并由 此求出其系數(shù) A、 B及 C。 (6) 對于平面應(yīng)變問題，只須將 換為 μE,。 （ 2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。 彈性力學(xué) 第四章 53 按應(yīng)力求解時 ：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會出現(xiàn)多值項。 單值條件 對于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。 outer radius is b。 彈性力學(xué) 第四章 59 Boundary conditions 邊界條件 ? 4. ?ab??) ?=0 rdr=M ?ab??) ?=0 rdr= ?ab rd2?/dr2 dr = ?ab rd(d?/dr)= (rd?/dr)ab ?ab d?/dr dr =(r2?r)ab ? )ab =b2?r) r=b a2?r)r=a ? )ab = ? )ab = ? )r=a ? )r=b=M ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D () ? (Alna+Ba2lna+Ca2+D)(Alnb+Bb2lnb+Cb2+D)=M () 彈性力學(xué) 第四章 60 Boundary conditions 邊界條件 ? Solving for A,B,C from Eqs. ()()() and then substituting A B C into Eqs.() to (), we obtain the Golovin?s solution Eqs. () to () ? 解方程 ()()()得 A B C，然后將 A B C代入 方程 () 至 ()得 Golovin?s 解答 () 至 () 彈性力學(xué) 第四章 61 Analysis of the solution解答分析 ? The distribution of ?r and ?? is approximately shown in Fig. 應(yīng)力 ?r 和 ??近似地繪于圖 彈性力學(xué) 第四章 62 Analysis of the solution 解答分析 ? mechanics of materials 材料力學(xué) ?r=0 ?r?=0 ???0 ? Elasticity 彈性力學(xué) ?r?0 ?r?=0 ???0 the neutral axis (where ??=0) is located a little nearer surface than the outer 內(nèi) ? mechanics of materials 材料力學(xué) Elasticity 彈性力學(xué) Cross sections remain plane after bending. 彎曲后橫截面仍為平面。這種現(xiàn)象叫孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象，它具有局部性。 彈性力學(xué) 第四章 73 B. a rectangular plate with a small circular hole of radius a and subjected to uniform tensile force of intensity q1 and q2 in the x and y direction respectively. 具有半徑為 a的小圓孔的矩形板在 x和 y方向分別受到均布荷載 q1和 q2作用。 ? 假定無洞，求出洞中心處的應(yīng)力，主應(yīng)力 ?1 和 ?2 及方向。 彈性力學(xué) 第四章 76 wedge loaded at the vertex or on the edges 契形體在契頂或契邊受力 ? P75(E) 彈性力學(xué) 第四章 77 A. a wedge is subjected to a concentrated load at its vertex. 契形體在契頂受集中力 ? 因次分析 dimensional analysis stress[force][length]2 P [force][length]1 r [length] ?,?,?dimensionless ? stressesP/r ? ? = r f(?) 彈性力學(xué) 第四章 78 ? ? ? = r f(?) (1) ? substitution of (1) into ?4? =[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ? =0 yields 1/r3[f(4)(?)+2f?? +f]=0 ? [f(4)(?)+2f?? +f]=0 ? f= [A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)] ? ?=r[A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)] ? ?=r?(C cos?+Dsin?) 彈性力學(xué) 第四章 79 ? stresses ? ?=r?(C cos?+Dsin?) ? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) =2/r (Dcos?Csin?) () ??= ?2?/?r2=0 () ?r?= (?/?r)[??/(r??)]=0 () 彈性力學(xué) 第四章 80 boundary condition ? ?r=2/r (Dcos?Csin?) ??= 0 ?r?=0 ? ??)?=??/2 = 0 ?r? ) ?=??/2 =0 are satisfied 彈性力學(xué) 第四章 81 boundary condition ?r=2/r (Dcos?Csin?) ? free body 0AB ?Fx=0 ? ?/2?/2 ?rcos? rd?+Pcos?=0 ?Fy=0 ? ?/2?/2 ?rsin? rd?+Psin?=0 彈性力學(xué) 第四章 82 boundary condition ?r=2/r (Dcos?Csin?) ? free body 0AB ?Fx=0 ? ?/2?/2 ?rcos? rd?+Pcos?=0 ?Fy=0 ? ?/2?/2 ?rsin? rd?+Psin?=0 ? solving for D C and substituting D C into Eq. (), we obtain: ?r=2P/r[(cos?cos?)/(?+sin?)+(sin?sin?)/(?sin?)] ??=0 ?r?=0 () 彈性力學(xué) 第四章 83 special case 1特例 1: ?=? ?=?/2 ? Fig. P y x ? ?r=2Psin?/(? r) ??=0 ?r?=0 彈性力學(xué) 第四章 84 Special case 2 特例 2: ?=? ?=0 concentrated normal load on a straight boundary(Flamant?s problem)直線邊界上作用法向集中荷載 (符拉芒問題） ? ?r=2P cos? /(? r) ??=0 ?r?=0 () 彈性力學(xué) 第四章 85 displacements 平面應(yīng)力問題的位移 ? ?r=2Psin?/(? r) ??=0 ?r?=0 ? ur=2Pcos?lnr/(?E)(1?)P?sin? /(?E) +Icos? u?=2Psin?lnr/(?E)+(1+?)Psin?/(?E)(1?) P?cos?/(?E)Isin? in which I is the rigidbody translation in the x direction. 其中 I為 x向剛體平動 。 ur )r=a ur )r=b ur )r=b ur )r=a 彈性力學(xué) 第四章 91 42 設(shè)有一剛體，具有半徑為 b的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置內(nèi)半徑為 a外半徑為 b的圓筒，受圓筒內(nèi)壓 q，求圓筒的