【正文】 ∵ AB⊥ AC， CD⊥ AC， ∴ 四邊形 ABEC 為矩形． ∴ CE=AB=12m． 在 Rt△ CBE 中， cot∠ CBE= ， ∴ BE=CE?cot30176。 得 DE=BE=12 ． ∴ CD=CE+DE=12（ +1） ≈ ． 答：樓房 CD 的高度約為 ． 第 22 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 六、探究與應(yīng)用（每小題 10 分，共 20 分） 25．如圖，頂點(diǎn) M 在 y 軸上的拋物線與直線 y=x+1 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 在x 軸上，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 2，連結(jié) AM、 BM． （ 1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）判斷 △ ABM 的形狀，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】 （ 1）由條件可分別求得 A、 B 的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式； （ 2）結(jié)合（ 1）中 A、 B、 C 的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可分別求得 AB、 AM、 BM，可得到 AB2+AM2=BM2，可判定 △ ABM 為直角三角形． 【解答】 解：（ 1） ∵ A 點(diǎn)為直線 y=x+1 與 x 軸的交點(diǎn)， ∴ A（﹣ 1， 0）， 又 B 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， ∴ B（ 2， 3）， ∵ 拋物線頂點(diǎn)在 y 軸上， ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+c， 把 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ， 第 23 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 解得 ， ∴ 拋物線解析式為 y=x2﹣ 1； （ 2） △ ABM 為直角三角形．理由如下： 由（ 1）拋物線解析式為 y=x2﹣ 1，可知 M 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，﹣ 1）， ∴ AM2=12+12=2， AB2=（ 2+1） 2+32=18， BM2=22+（ 3+1） 2=20， ∴ AM2+AB2=2+18=20=BM2， ∴△ ABM 為直角三角形． 26．如圖，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=10，將 ∠ MPN 的頂點(diǎn) P 在矩形 ABCD 的邊 AD 上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，始終保持 ∠ MPN=90176。再由直角三角形的性質(zhì)，得出 ∠ PCD+∠ DPC=90176。推出 ∠ EPA+∠ DPC=90176。 CD=AB=6， ∴∠ PCD+∠ DPC=90176。 ∴∠ EPA+∠ DPC=90176。 ∴∠ APB+∠ DPC=90176。 ∴∠ DCP=∠ APB， ∵∠ A=∠ D， ∴△ ABP∽ DPC， ∴ = ， 即： = ， 解得： DP=1 或 9， ∴ B， E 重合時(shí) DP 的長(zhǎng)為 1 或 9； （ 3）存在滿足條件的點(diǎn) P， ∵△ CDP∽△ PAE， 根據(jù)使 △ DPC 的面積等于 △ AEP 面積的 4 倍，得到兩三角形的相似比為 2， ∴ =2， 即 =2， 解得 AP=； 第 25 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，滿分 40 分）以下每小題都給出了 A， B， C， D 四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在表中． 1．拋物線 y=ax2+bx﹣ 3 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 1， 1），則代數(shù)式 a+b 的值為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 2．在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。則 ∠ BCD 的度數(shù)是（ ） A． 122176。 C． 128176。 7．已知點(diǎn) C 在線段 AB 上，且點(diǎn) C 是線段 AB 的黃金分割點(diǎn)（ AC＞ BC），則下列結(jié)論正確的是（ ） A． AB2=AC?BC B． BC2=AC?BC C． AC= BC D． BC= AB 8．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=13， BC=10，點(diǎn) D 為 BC 的中點(diǎn)， DE⊥ AB 于點(diǎn) E，則 tan∠ BDE 的值等于（ ） A． B． C． D． 9．如圖，已知點(diǎn) P 是 Rt△ ABC 的斜邊 BC 上任意一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) P 作直線 PD 與直角邊 AB 或 AC 相交于點(diǎn) D，截得的小三角形與 △ ABC 相似，那么 D 點(diǎn)的位置最多有（ ） A． 2 處 B． 3 處 C． 4 處 D． 5 處 10．如圖， Rt△ ABC 中， AC=BC=2，正方形 CDEF 的頂點(diǎn) D、 F 分別在 AC、 BC 邊上，設(shè) CD 的長(zhǎng)度為 x， △ ABC 與正方形 CDEF 重疊部分的面積為 y，則下列圖象中能表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ） 第 27 頁(yè)（共 55 頁(yè)） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 11．計(jì)算： sin60176。﹣ tan45176。則 ∠ ABC 的度數(shù)是 ． 13．有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬度是乙紙條寬的 2 倍，如圖，將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形 ABCD．則 AB 與 BC 的數(shù)量關(guān)系為 ． 14．如圖，在正方形 ABCD 中， △ BPC 是等邊三角形， BP、 CP 的延長(zhǎng)線分別交第 28 頁(yè)（共 55 頁(yè)） AD 于點(diǎn) E、 F，連結(jié) BD、 DP， BD 與 CF 相交于點(diǎn) H．給出下列結(jié)論： ①△ ABE≌△ DCF； ② = ； ③ DP2=PH?PB； ④ = ． 其中正確的是 ．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） 三、（本大題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分） 15．（ 8 分）拋物線 y=﹣ 2x2+8x﹣ 6． （ 1）用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸； （ 2） x 取何值時(shí)， y 隨 x 的增大而減小？ 16．（ 8 分）已知如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB，垂足為 E，連接 AC．若∠ A=176。小英同學(xué)在距 A 處 50 米遠(yuǎn)的 B 處測(cè)得 ∠ CBD=30176。 AB=5， AC=3．下列選項(xiàng)中，正確的是（ ） A． sinA= B． cosA= C． tanA= D． cotA= 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】 首先在直角 △ ABC 中利用勾股定理求得 BC 的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷． 【解答】 解：在直角 △ ABC 中 BC= = =4． A、 sinA= = ，選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、 cosA= = ，選項(xiàng)正確； C、 tanA= = ，選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、 cotA= = ，選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選 B． 第 33 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊． 3．若 ab=cd，且 abcd≠ 0，則下列式子正確的是（ ） A． a： c=b： d B． d： c=b： a C． a： b=c： d D． a： d=c： b 【考點(diǎn)】 比例的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案． 【解答】 解： A、 a： c=b： d，得 ad=bc，故 A 錯(cuò)誤； B、 d： c=b： a，得 bc=ad，故 B 錯(cuò)誤； C、 a： b=c： d，得 ac=bd，故 C 錯(cuò)誤； D、 a： d=c： b，得 ab=cd，故 D 正確； 故選： D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了比例的性質(zhì)，比例的性質(zhì)是：兩外項(xiàng)的乘積等于兩內(nèi)項(xiàng)的乘積． 4．對(duì)于反比例函數(shù) ，下列說(shuō)法中不正確的是（ ） A．點(diǎn)（﹣ 2，﹣ 1）在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限 C． y 隨 x 的增大而減小 D．當(dāng) x＜ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)用排除法解答，當(dāng)系數(shù) k＞ 0 時(shí)，函數(shù)圖象在第一、三象限，當(dāng) x＞ 0 或 x＜ 0 時(shí)， y 隨 x 的增 大而減小，據(jù)此可以得到答案． 【解答】 解： A、把點(diǎn)（﹣ 2，﹣ 1）代入反比例函數(shù) y= 得﹣ 1=﹣ 1，本選項(xiàng)正確； B、 ∵ k=2＞ 0， ∴ 圖象在第一、三象限，本選項(xiàng)正確； C、當(dāng) x＞ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，本選項(xiàng)不正確； 第 34 頁(yè)（共 55 頁(yè)） D、當(dāng) x＜ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，本選項(xiàng)正確． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了反比例函數(shù) y= （ k≠ 0）的性質(zhì)： ① 當(dāng) k＞ 0 時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng) k＜ 0 時(shí)，圖象分別位于第二、四象限． ② 當(dāng) k＞ 0 時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) k＜ 0 時(shí)，在同一個(gè)象限， y 隨 x 的增大而增大． 5．如圖， △ ABC 中，點(diǎn) D、 E 分別是 AB、 AC 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論： ① BC=2DE；②△ ADE∽△ ABC； ③ ．其中正確的有（ ） A． 3 個(gè) B． 2 個(gè) C． 1 個(gè) D． 0 個(gè) 【考點(diǎn)】 三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 若 D、 E 是 AB、 AC 的中點(diǎn)，則 DE 是 △ ABC 的中位線，可根據(jù)三角形中位線定理得出的等量條件進(jìn)行判斷． 【解答】 解： ∵ D、 E 是 AB、 AC 的中點(diǎn)， ∴ DE 是 △ ABC 的中位線； ∴ DE∥ BC， BC=2DE；（故 ① 正確） ∴△ ADE∽△ ABC；（故 ② 正確） ∴ ，即 ；（故 ③ 正確） 因此本題的三個(gè)結(jié)論都正確，故選 A． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了三角形中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)． 6． AB 為 ⊙ O 的直徑，點(diǎn) C、 D 在 ⊙ O 上．若 ∠ ABD=42176。 B． 132176。 D． 138176。然后可得 ∠ DAB=48176。 ∵∠ ABD=42176。 ∴∠ BCD=180176。=132176。 ∠ BAD+∠ ADE=90176。?cos30176。= ． 【考點(diǎn)】 特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】 先把 sin60176。=1， cos30176。?cos30176。 = ? ﹣ 1， =﹣ ． 故答案為：﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答第 40 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 此題的關(guān)鍵． 12．如圖，點(diǎn) A、 B、 C 在 ⊙ O 上， ∠ AOC=60176。 ． 【考點(diǎn)】 圓周角定理． 【分析】 首先在優(yōu)弧 上取點(diǎn) D，連接 AD， CD，由圓周角定理，即可求得 ∠ADC 的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得答案． 【解答】 解：在優(yōu)弧 上取點(diǎn) D，連接 AD， CD， ∵∠ AOC=60176。 ∵∠ ABC+∠ ADC=180176。﹣ ∠ ADC=180176。=150176。． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握輔助線的作法． 13．有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬度是乙紙條寬的 2 倍，如圖，將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形 ABCD．則 AB 與 BC 的數(shù)量關(guān)系為 AB=2BC ． 第 41 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 分別過(guò) A 作 AE⊥ BC 于 E、作 AF⊥ CD 于 F，再根據(jù)甲紙條的寬度是乙紙條寬的 2 倍可得出 AE=2AF，再由平行四邊形的性質(zhì)得出 ∠ ABC=∠ ADC，進(jìn)而可判斷出 △ ABE∽△ ADF，其相似比為 2： 1． 【解答】 解：過(guò) A 作 AE⊥ BC 于 E、作 AF⊥ CD 于 F， ∵ 甲紙條的寬度是乙紙條寬的 2 倍， ∴ AE=2AF， ∵ 紙條的兩邊互相平行， ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ ABC=∠ ADC， AD=BC， ∵∠ AEB=∠ AFD=90176。推出 △ DFP∽△ BPH，得到 = = = 故 ② 錯(cuò)誤；由于 ∠ PDH=∠ PCD=30176。 在正方形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD， ∠ A=∠ ADC=∠ BCD=90176。 在 △ ABE 與 △ CDF 中， ， ∴△ ABE≌△ DCF，故 ① 正確； ∵ PC=CD， ∠ PCD=30176。 ∴∠ FDP=15176。 ∴∠ PBD=15176。 第 43 頁(yè)（共 55 頁(yè)） ∴△ DFP∽△ BPH， ∴ = = = ，故 ② 錯(cuò)誤； ∵∠ PDH=∠ PCD=30176。 PB=PC=BC=CD=4， ∴∠ PCD=30176。=4 =2 ， PM=PC?sin30176。CD=8cm，求 ⊙ O 的半徑． 【考點(diǎn)】 垂徑定理；勾股定理． 【分析】 連接 OC，由圓周角定理得出 ∠ COE=45176。 ∴∠ COE=2∠ A=45176。小英同學(xué)在距 A 處50 米遠(yuǎn)的 B 處測(cè)得 ∠ CBD=30176。 AE=CE=x 在 Rt△ BCE 中： ∠ CBE=3017