【正文】 ( ) ( )f x g x? 。39。( ) 0 ,R x R a R a? ? ?且 則有( ) ( )f x g x? 。39。( ) 0 ,R x R a R a? ? ?且 則有( ) ( )f x g x? 。39。( ) 0a ? ,R39。 例 1 求證： ln( 1)xx?? 證明：令 ( ) ln( 1)f x x x? ? ?,函數(shù) )(xf 的定義域是 ( 1, )? ?? 。 當(dāng) 01 ??? x 時(shí) , ( ) 0fx? ? ,當(dāng) 0?x 時(shí) , 0)( ?? xf ，又 0)0( ?f ， 故當(dāng)且僅當(dāng) 0?x 時(shí)， )(xf 取得最大值，最大值是 0。 證明 : 令 2( ) s i n c os 1R x x x x x? ? ? ? ? ,則 有 39。 例 3 設(shè) ()fx在區(qū)間 ? ?ba, 上可導(dǎo) 且 0)(,)( ??? afmxf 。( ) ( ) ( ) , 39。( ) 39。( )f x m? ）， 所以 )(xF? 單調(diào)遞減，故39。( ) ( ) ( ) 0F x F a f a m a a? ? ? ? ?,所以 )(xF 單調(diào)遞減。 例 1 求解方程： 2 2 6 2 0xx? ? ? ? ? 解：令 ( ) 2 2 6 2 ( 2 6 )f x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 16 因?yàn)?()fx為在 [ 2,6]? 上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有 ( 2) (6) 0,ff? ? ?即在 [2,6]上只有一個(gè)根。 例 2 當(dāng) 10 4a?? 時(shí)，解方程 22112 ( 0 )1 6 1 6x a x a a x x? ? ? ? ? ? ? ?。 解：設(shè) 2 1( ) 2 , 0 ,16f x x a x x? ? ? ?則有 12 1( ) , ( 0 )16f x a a x x? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?10 4a?? ，所以 2 2 211( ) 2 ( )1 6 1 6f x x a x x a a? ? ? ? ? ? ?在 (0, )x? ?? 上是增函數(shù)， 即 原方程與方程 ()f x x? 同解，即為方程： 2 1( ) 2 =16f x x a x x? ? ?的解 。 單調(diào)性在化簡(jiǎn)求值方面的應(yīng)用 對(duì)于求代數(shù)式的值，可視為 相應(yīng)函數(shù)的一個(gè)特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，有時(shí)能巧妙獲解。 解：由 33( 1 ) 2 0 1 3 ( 1 ) 1(1 ) 2 0 1 3 (1 ) 1xxyy? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???，所以 1?x , y?1 都是方程 0120203 ??? tt 的根。 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 17 例 2 設(shè)實(shí)數(shù) ba, 滿(mǎn)足條件 3 2 3 23 5 1 , 3 5 5a a a b b b? ? ? ? ? ?求 ba? 的值 解：設(shè) 32( ) 3 5f x x x x? ? ?，有 ( ) 1, ( ) 5f a f b??,因?yàn)? 3 2 3( ) 3 5 ( 1 ) 2( 1 ) 3f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 1 , ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 , ( 1 ) 2 ( 1 ) 2f a a a a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 即 同 理 可 知. 又 3( ) 3 ( 1 ) 2( 1 )f x x x? ? ? ? ?,令 1??xu 即 uuuf 23)1( 3 ???? 為 單調(diào)增函數(shù)且為奇函 數(shù)， 所以 )1(1 ???? ba ，即有 2??ba 。 函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用于比較大小的一般做法：首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。 解：因?yàn)?,0,0 ?? ba 所以 ,00 ?? abba baba ， 即有 )l g ()l g ()l g ()l g ()l g ()l g ( abbabbaababa abba ????? )lg)(lg( baba ??? 因?yàn)?ba? ，不妨 設(shè) 0??ba ， xxf lg)( ? 在 (0, )?? 上單調(diào)遞增，則 0)lg) ( lg( ??? baba ，所以 )lg()lg( abba baba ? ，即 abba baba ? 。 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用 例 1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣 選取使所用材料最??？ 解： 金屬飲料罐高為 h ，底面半徑為 R ，材料最省即是表面積最小，且表面積是 關(guān)于 R和 h 的二元函數(shù)， 則 S =2Rh? + 22R? .由常數(shù)（定值） 2V R h?? ， 則 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 18 ()SR=2 2R? +VR +VR （ V 為 常數(shù)） 令 ( ) 0SR? ? ,則 ?R 32V?,代 入 2V R h?? ，得2Vh R??，即 2hR? 。 由 22( ) 3 0f x d x? ? ? ?,得 x = d33 ， 函數(shù) ()fx在 [0, ]d 上連續(xù)，故必有最大值和最小值，則當(dāng) x 變化時(shí) f? 的變化情況如下表： 表 41 x 0 3(0, )3 d d33 3( , )3 dd d T? + 0 ? ? T 0 遞增 極大值 3932 d 遞減 0 由表可知 maxy = 3()3fd= 3932 d 。兩種原料的價(jià)格分別為 1p 與 2p （單位：萬(wàn)元 / 噸）。 因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大產(chǎn)出量，故在兩種原料投入的總費(fèi)用為 P （萬(wàn)元）時(shí)，這兩種原料的投入量為1 1Px p??（噸），2 2Px p??（噸），可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大。 (1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略； (2) 若提供的廣告費(fèi)用為總額 1． 5 萬(wàn)元，求相應(yīng)最佳廣告策略。則 ),( 為 ),( yxL 惟一的駐點(diǎn)。 所以最大利潤(rùn)為 ),( ?L 萬(wàn)元。 (2)求廣告費(fèi)用為 萬(wàn)元的條件下的最佳廣告策略 ， 即為在約束條件 ??yx 下 ， 求 ),( yxL 的最大值 ． 作拉格朗日函數(shù) ),(),(),( yxyxLyxF ???? )(1028311315 22 ????????? yxyxxyyx ? 求函數(shù) ),( yxF 的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： ?????????????????????。這是惟一的駐點(diǎn) ， 又由題意 ),( yxL 一定存在最大值 ， 故 39),0( ?L 萬(wàn)元為最大值。梁上分布有均布荷載，求此梁最大處彎矩？ 圖 解：將圖形簡(jiǎn)化如下 圖 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 21 （ 1）求支座反力 由 0Y?? 和對(duì)稱(chēng)條件知 2ABqlYY?? （ 2）列出剪力方程和彎矩方程：以左端 A 為原點(diǎn)，并將 x 表示在圖上。 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用 例 1 工廠 A 到鐵路線(xiàn)的垂直距離為 km20 ,垂足為 B ,鐵路線(xiàn)上距離為 km100 處有一原料供應(yīng)站 C ,現(xiàn)要在鐵路 BC 之間某處 D 修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車(chē)站 D 向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為 5:3 ，那么 D 應(yīng)該建在何處，才能是原料供應(yīng)站 C 運(yùn)貨到 A 所需運(yùn)費(fèi)最省？ 圖 解：設(shè) BD之間的距離為 x km，則有 xCDxAD ???? 10 0,20 22 如果公路費(fèi)用為 kma /元 ，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為 kma /53 元 ，故原料供應(yīng)站 C 途徑中轉(zhuǎn)站 D 到工廠 A 所需總費(fèi)用 y 為 )1 0 00(4 0 0)1 0 0(53 2 ?????? xxaxay 求導(dǎo)得 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 22 4 0 05 )4 0 035(4 0 053 222 ????????? x xxax axay 令 0??y ，即得 )400(925 22 ?? xx ,解得 151?x ， 152 ??x （舍去），且 151?x 是函數(shù)定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以 151?x 是函數(shù) y 的極小值點(diǎn)，而且也是函數(shù) y 的最小值。 總結(jié) 本文先通過(guò)介紹函數(shù)單 調(diào)性的概念、意義及單調(diào)性的判別方法，進(jìn)而歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用， 最后結(jié)合實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，從而對(duì)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有了深入理解 。對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，通過(guò)閱讀這篇論文不僅能系統(tǒng)地掌握單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，還能了解單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，開(kāi)闊視野，增加其對(duì)單調(diào)性的學(xué)習(xí)興趣。 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 23 致謝 彈指一揮間，大學(xué)的學(xué)習(xí)生活即將流逝。 首先我要感謝我們的學(xué)校和老師以及我在同一個(gè) 窗檐 下學(xué)習(xí)奮斗的兄弟姐妹，為我提供了良好的教育環(huán)境和良好的學(xué)習(xí)氛圍，使得我能夠?qū)W習(xí)成長(zhǎng)到今天。他們辛勞一生，把希望都寄托在了我的身上，是他們?cè)谖镔|(zhì)上的資助和精神上的鼓勵(lì)，成就了我的今天。畢業(yè)論文初期，論文要從零開(kāi)始，是老師們的悉心指導(dǎo)，使我順利完成了論文設(shè)計(jì)。 再次向所有關(guān)心我、支持我、幫助我的師長(zhǎng)、親人、朋友致以最真的謝意 ！ 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 24 參考文獻(xiàn) [1] 王宜田 .談?wù)剶?shù)學(xué)解題教學(xué)中的一題多用 [J].科技信息 ,2020, (4): 1725. 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