【正文】 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)或只有個(gè)別的不可導(dǎo)點(diǎn)，則可以用以下方法求出 M和 m 及相應(yīng)的最大值與最小值。 解：設(shè)所求平面方程為 )0,0,0(,1 ?????? cbaczbyax 因?yàn)槠矫孢^(guò)點(diǎn) )1,1,1( ，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 1111 ??? cba (1) 設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍立體的體積為 V， 則 abcV 61? (2) 原問(wèn)題化為求目標(biāo)函數(shù)（ 2）在約束條件（ 1）下的最小值．作拉格朗日函數(shù) )1111(61),( ????? cbaabccbaL ? (3) 求函數(shù) L 的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： 2221 061 061 06bcaacbabc???? ????? ????? ???? 由此方程組和（ 1）解得 a = b = c = 3. 由于最小體積一定存在， 且 函數(shù)有惟一的駐點(diǎn)，故 3abc? ? ? 為所求，即平面3x y z? ? ? 與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為 29361 3m in ???V 。 于是，求函數(shù) ( , )zxy 在條件 ( , )xy? 的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為： （ 1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxL ??? ?? 其中 ? 為某一常數(shù)； 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 12 （ 2）由方程組 ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ) 0x x xy y yL f x y x yL f x y x yL x y??????? ? ? ??? ? ??? ??? 解出 x ， y ， z ，其中點(diǎn) (, )xy 就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn)。 例 3 設(shè) ),( yxzz? 是由 0182106 222 ?????? zyzyxyx 確定的函數(shù)，求 ),( yxzz? 的極值點(diǎn)和極值。 二元函數(shù)的極值 對(duì)于二元函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( 00 yx 的某鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 00( , ) 0xf x y ? ，0),( 00 ?yxfy 。 （ 1）求 b 、 c 的值。 結(jié)合 ()fx的單調(diào)性可知： 當(dāng) )(xf 的極大值 5 027 a?? ，即 )275,( ????a 時(shí)，它的極小值也小于 0，因此曲線()y f x? 與 x 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在 (1, )? 上。 當(dāng) x 變化時(shí)， 39。 (2)當(dāng) a 在什么范圍內(nèi)取值時(shí) ,曲線 xxfy 與)(? 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域 )(0xU 內(nèi)對(duì)一切 )( 0xUx? 有 )()( 0 xfxf ? ，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 取得極小值， 0x 是極小值點(diǎn)。也就是說(shuō)若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。( ) l im l imxx f x x f xyfx xx? ? ? ? ? ? ??????。 對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別 對(duì)數(shù)函數(shù)的一般解析式 ? ? logaf x x? ,其中 0?a 且過(guò)點(diǎn) ? ?1,0 。其中當(dāng) 0?a 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時(shí)，函數(shù)有最小值 2= 4byc a? ，即在 ( , ]2ba??? 上為單調(diào)遞減函數(shù)；其中當(dāng) 0?a 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時(shí)，函數(shù)有最大值2= 4byc a? ，即在 [ , )2ba? ?? 上為單調(diào)遞增函數(shù)。 函數(shù)單調(diào)性的判別 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別 在最初對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。由極值的定義可知，函數(shù) ()fx在 0x 處取得極大值。0xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0( ) 0fx? ? ，0( ) 0fx?? ? 。 （ 1） 若 00( , )x x x??? 時(shí)， 0?? ）（ xf ，當(dāng) 00( , )x x x ???時(shí) 0)( ?? xf ，則 ()fx在點(diǎn) 0x 取安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 6 得極小值； （ 2） 若 00( , )x x x??? 時(shí)， 0)( ?? xf ，當(dāng) 00( , )x x x ???時(shí) 0?? ）（ xf ，則 ()fx在 0x 處取得極大值。 定理 5（費(fèi)馬定理） 設(shè)函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn) 0x 可導(dǎo)。 極值的判定定理 若函 數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 的某鄰域 )(0xU 內(nèi)對(duì)一切 ?x )(0xU 有 )()( 0 xfxf ? ）（ )()( 0 xfxf ? ，則稱函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 取得 極大（?。┲?，稱點(diǎn) 0x 為極大（?。┲迭c(diǎn)。 證明：設(shè) 1)( 23 ??? xxxf ，則 )(xf 在閉區(qū)間 ? ?1,1? 上連續(xù)，并且 01)1( ????f ， 01)1( ??f ， 根據(jù)零點(diǎn)定理，在區(qū)間 ? ?1,1? 內(nèi)至少有一點(diǎn) ? ， 使得 0)( ??f 。該式表明，函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上有上界 M 和下界 m ，因此函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上有界。 如果函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn) ? ?ba,1?? ，使 )(1?f 是 )(xf 在? ?ba, 上的最大值，又至少有一點(diǎn) ? ?ba,2?? ，使 )(2?f 是 )(xf 在 ? ?ba, 上的最小值。 綜上所述得 0?a . 函數(shù)單調(diào)性的常用定理和性質(zhì) 最值定理 對(duì)于在區(qū)間 I 上有定義的函數(shù) )(xf ,如果有 Ix?0 ,使得對(duì)于 0xI??,都有安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 4 )()( 0xfxf ? (或 )()( 0xfxf ? )，則稱 )(0xf 是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上的最大值 (或最小值 )。 解： )(xf? 在 R 上遞減， 39。反之，若函數(shù) )(xf 是增函數(shù)，則 39。 ? )(xf 是定義在 ? ?11，? 上的減函數(shù)， 1111 2 ??????? aa ，解得 10 ??a 。 例 2 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 ? ?2,0 上是增函數(shù)，函數(shù) )2( ?? xfy 是偶函數(shù)，確定)27(),25(),1( fff 的大小關(guān)系。 函數(shù)單調(diào)性的理解 (1) 圖形理解 在區(qū)間 D 上， ()fx的圖像上升（或下降） ? ()fx是區(qū)間 D 上的增函數(shù)（或減函數(shù)）。 如果對(duì)屬于 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 12,xx,當(dāng) 12xx? 時(shí) ,都有 ? ? ? ?12f x f x? ，那么就說(shuō) ()fx在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。 研究函數(shù)在無(wú)限變化中的變化趨勢(shì)，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變，都要用到單調(diào)性。20 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用 18 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用 17 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤(rùn)中的應(yīng)用 8 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用 1 函數(shù)單調(diào)性的常用定理與性質(zhì) 所以，無(wú)論是從研究教學(xué)來(lái)講，還是實(shí)際應(yīng)用來(lái)講，研究函數(shù)的單調(diào)性都 具有重要理論意義和現(xiàn)實(shí)意義 。 本課題從函數(shù)單調(diào)性的概念與定義入手，主要介紹函數(shù)單調(diào)性的若干性質(zhì)和判別方法，然后深入探討和總結(jié)單調(diào)性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用，繼而聯(lián)系實(shí)際，分析單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用， 從而總結(jié)出 函數(shù)單調(diào)性所適用的條件，應(yīng)用的范圍 等 。 7 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別 14 單調(diào)性在求方程解問(wèn)題中的應(yīng)用 17 函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用 21 結(jié) 論 23 參考文獻(xiàn) 24 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 1 前 言 單調(diào)性是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要紐帶。 函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)理論 函數(shù)單調(diào)性的基本概念 函數(shù)單調(diào)性的 定義 一般地，設(shè)函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?I ： 如果對(duì)屬于 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 12,xx,當(dāng) 12xx? 時(shí) ,都有 ? ? ? ?12f x f x? ，那么就說(shuō) ()fx在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。 函數(shù)的這一性質(zhì)在解決函數(shù)求極值、比較大小、求解方程的根、解不等式等問(wèn)題時(shí)都有很大的幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中，例如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中如何實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，在工程領(lǐng)域中如何計(jì)算材料的極限強(qiáng)度，在航空領(lǐng)域中計(jì)算航空器回收落地時(shí)間等等，函數(shù)單調(diào)性都有很重要的應(yīng)用。圖像如下 : (2) 正向 理解（定義理解） )(xf 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增， Dxx ?21, ,且 )()( 2121 xfxfxx ??? ； )(xf 在區(qū)間 D 上單 1 x2 f(x2) ()(x2)) )(1xf 圖 O x X1 X2 y ②減函數(shù)圖像 O x X1 X2 y ①增函數(shù)圖像 00 1 x1 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 3 調(diào)遞減， Dxx ?21, ,且 )()( 2121 xfxfxx ??? 。 解：由已知可 知， )1()1( 2afaf ???? ，又 ? )(xf 是奇函數(shù) ? 2(1 ) ( 1)f a f a? ? ?。( ) 0fx? ，則 )(xf 是增函數(shù)。 例 4 函數(shù) xaxxf ?? 3)( 在 ? ????? , 是減函數(shù)，求 a 的取值范圍。 (2) 當(dāng) 0?a 時(shí)，只須滿足 0120 ???? aa 且 即可。 定理 1（最大、最小值定理） 若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 )(xf 在 ? ?ba, 上有最大值與最小值。 有界性定理 根據(jù)定理 1 可知，函數(shù) )(xf 在其連續(xù)區(qū)間 ? ?ba, 上一定存在最大值 M 和最小值 m ，使任一 ? ?bax ,? 滿足 Mxfm ?? )( 。 例 2 證明方程 0123 ???xx 在區(qū)間 ? ?1,1? 內(nèi)至少有一個(gè)根。為介于 )(af 與 )(bf 之間的任何實(shí)數(shù) ( ( ) ( )f a f b??? 或 ( ) ( )f a f b??? )，則至少存在一點(diǎn) 0x ）（ ba,? ,使得0()fx?? 。如果就 ()fx的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)， 0()fx 不一定就是最大值或最小值。 )Ux? 內(nèi)可導(dǎo)。 定理 7（極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 的某領(lǐng)域 ）（ ?。0xU