【正文】 ???????????axaxxaxxaxxxaxxf 11110 11110 1111)( 易得 ()fx在 ( , )???? 連續(xù) ,求導得 22222211 0( 1 ) ( 1 )11( ) 0( 1 ) ( 1 )11 ( 1 ) ( 1 )xx a xf x x ax a xxax x a????? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ?? 由此得 ( ,0]x??? 時 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( ,0]?? 單調(diào)增加； [ , )xa? ?? 時 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 [ , )a?? 單調(diào)減少。 單調(diào)性在不等式中的應用 設函數(shù) y= ()fx在定義區(qū)間 Ⅰ 上連續(xù)， 在 Ⅰ 內(nèi)可導，如果在定義區(qū)間 Ⅰ 內(nèi) 39。( ) 0, ( ) 0R x R a??時，則有 ( ) ( )f x g x? ； （ 2） 39。( ) 0 ( ) 39。( ) 0 ( ) 39。( ) 0Rx? , R39。 1( ) 11fx x? ??? .令 0)( ?? xf ，解得 0?x 。( ) c o s sin 1 2R x x x x? ? ? ?, 0c os1s i n12c oss i n)( ??????????? xxxxxR ， 0)0()( ???? RxR所以 ， 即 0)( ?? xR ，所以 )(xR 為單調(diào)遞增函數(shù)， ( ) (0) 0,R x R??即 2s in c o s 1x x x x? ? ? ?。39。( ) 39。 又把 2?x 代入時有 (2) 0f ? ， 即原方程只有一個根 2?x 。 解之得 21 13(1 2 4 4 )24x a a a? ? ? ? ? 22 13(1 2 + 4 4 )24x a a a? ? ? ? 顯然， 02?x ； 又因為 2 2 234 4 1 4 4 (1 2 )4a a a a a? ? ? ? ? ? ?，所以 01?x ，故而 21,xx 均為原方程的解 。 構造方程 12020)( 3 ??? tttf ，因為 020203)( 2 ???? ttf 在 ? ????? , 恒成立，所以 )(tf 在? ????? , 內(nèi)為增函數(shù)，所以方程 0)( ?tf 只有唯一解，即 yx ??? 11 ，所以有 2??yx 。 例 1 設 0, ?ba 且 ba? ，比較 abba baba ? 。 例 2 橫梁的強度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為 d 的圓木鋸成強度最大的橫梁，問斷面的寬和高應該各是多少？ 解 ： 設斷面的寬和高分別是 x 和 y ，則橫梁的強度 2T kxy? ( 0)k? ，又 2 2 2y d x??， 故求 22( ) ( )f x x d x??(0 )xd?? 的最大值即可 。試問，當投入兩種原料的總費用為 P（單位：萬元）時，兩種原料各投入多少可以使該產(chǎn)品的產(chǎn)出最大？ 解：由題設只應求函數(shù) 122Q x x??? 在條件 1 1 2 2P p x p x??之下的最大值點，應用拉格朗日 乘數(shù)法構造拉格朗日函數(shù) 安陽師范學院人文管理學院本科畢業(yè)論 文（設計） 19 1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) 2 ( )F x x x x p x p x P????? ? ? ?， 為求 12( , , )F x x ? 的駐點，解方程組 1211 2 111 2 21 1 2 2200xxF x x pF x x pF p x p x P????????????? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 由方程1 0xF??，2 0xF??可得 111 2 1 21222ax x x xpp? ? ?????? ，解得 2121pxxp??? . 代入 0F??? 有2 2 2 2p x p x P?? ??，解得1 1Px p??，2 2Px p??。 解： (1)利潤函數(shù)為 )(),( yxRyxL ??? 22 1028311315 yxxyyx ?????? 求函數(shù) L 的各個偏導數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： 13 8 4 031 8 20 0L yxxL xyy?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? 解得 ?x ， ?y 。 因此 ， 當電視廣告費與報紙廣告費分別為 萬元和 萬元時 ， 最大利潤為 安陽師范學院人文管理學院本科畢業(yè)論 文（設計） 20 萬元 ， 此即為最佳廣告策略。 單調(diào)性在結構工程中的應用 例 1 如下圖所示，此簡圖為一常 見的框架梁結構圖。由此可知，車站 D 建于 BC 之間并且與 B 相距 km15 處時，運費最省。展望未來，隨著相關理論基礎的不斷充實，函數(shù)單調(diào)性將會在解決實際問題中發(fā)揮更大的作用，諸如計算飛船下落回收時間，計算物種成長繁殖速度問題等，這些在目前看 來尚不能精確掌握的問題都會迎刃而解。 更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛母愛 ，給予了我做人的最基本的道理。 感謝老師對我論文的指導，幫我解決了一些疑難問題，令我豁然開朗、柳暗花明。 非常感謝我的畢業(yè)設計指導老師 —— **老師對我的畢業(yè)論文進行了悉心的指導，并提出了很多的寶貴意見。在這四年里，幸運的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學，正是在他們的關懷幫助下，我才能從懵懂之童 ,成長到今天 ,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。 本文的創(chuàng)新點在于不僅對單調(diào)性在解決數(shù)學問題中的應用進行了分類歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實際問題中的應用，像如何做到使材料最省、利潤最大，優(yōu)化路徑等。 ? ? ? ?2 02 2 2A x ql qxM x Y x qx x x l? ? ? ? ? ? ? ? （ 3）依題意得 ? ? )( 2 ????? xxxxM ? ? )( ?????? xxxM 當 3?x 時， 0)( ?? xM ；當 3?x 時， 0)( ?? xM ；當 3?x 時， 0)( ?? xM ； 故 3?x 時， )(xM 取得最大值， MKNMxM ??? )3(m a x)( ,即彎矩最大處在跨中位置。020831,04813??yxyFxyxF 并和條件 ??yx 聯(lián)立 解 得 0?x ， ?y 。 又由題意 ， ),( yxL 可導且一定存在最大值 ， 故最大值必在這惟一的 駐點處達到。 例 2 某公司通過電臺及報紙兩種方式 做銷售廣告，收入 R 萬元與電視廣告費 x 萬元及報紙廣告費 y 萬元之間的關系為： 22 1028321415 yxxyyxR ?????? 。 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤 中的應用 例 1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料 1x 和 2x （單位：噸）分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為 122Q x x??? （單位：噸），其中 0?? ， 0?? 且 1????。 函數(shù)單調(diào)性在實際生活中的應用 函數(shù)單調(diào)性 在實際中的應用主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤最大化、路徑選擇等。 單調(diào)性 在比較大小方面的應用 函數(shù)單調(diào)性用于比較大小一般性原則：在同一個函數(shù) )(xf 中有 21 xx? ，當函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)時有 )()( 21 xfxf ? ；當函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)是時有 )()( 12 xfxf ? 。 例 1 設 yx, 為實數(shù)，并滿足 ? 33( 1 ) 2 0 1 3 ( 1 ) 1(1 ) 2 0 1 3 (1 ) 1xxyy? ? ? ? ?? ? ? ? ?，求 yx? 的值。 利用性質(zhì)，若函數(shù) )(xfy? 是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù) )(xfy? 與它的反函數(shù)圖象的交點 必在直線 xy? 上 。故 )()( aFbF ? 其中 21( ) ( ) ( )2baF b f x d t m b a? ? ??， 21( ) ( ) ( ) 02aaF a f x d x m a a? ? ? ??，所以 21( ) ( )2ba f x d x m b a??? 單調(diào)性在求方程解問題中的應用 利用函數(shù)的單調(diào)性結合圖象能直觀地研究圖象的交點，假若能將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，這類問題便可以輕松獲解。( ) 0F x f x m x a F x f x m? ? ? ? ? ?（因為 39。 求證： 21( ) ( )2ba f x d x m b a??? 證明 : 將上限 b 改寫成 x ，設輔助函數(shù)為 21( ) ( ) ( )2xaF x f t d t m x a? ? ?? 則 39。 所以 ( ) ln ( 1 ) (0 ) 0f x x x f? ? ? ? ?,即 ln( 1)xx?? 例 2 當 0?x 時 ,證明不等式 2s in c o s 1x x x x? ? ? ?成立。( ) 0b ? ，安陽師范學院人文管理學院本科畢業(yè)論 文（設計） 15 ( ) (b) 0R a R??，則有 ( ) ( )f x g x? 。 結論 4 設 ( ) ( ) ( )R x f x g x??在區(qū)間 (, )ab 內(nèi)可導，且 39。 結論 3 設 ( ) ( ) ( )R x f x g x??在區(qū)間 ）（ ba, 內(nèi)可導 39。 結論 2 設 ( ) ( ) ( )R x f x g x??在區(qū)間 ）（ ba, 內(nèi)可導 39。( ) 0fx? 那么函數(shù) ()y f x? 在 Ⅰ 上單調(diào)減少，這是函數(shù)的單調(diào)性，也是應用在函數(shù)不等式解題中中最基本性質(zhì)。在(0, )a 上解 ( ) 0fx? ? ， 即 22(1 ) (1 ) 0a x x? ? ? ? ?，得 2ax? 。( ), ( )f x f x 的變化如下表 4 5 0 9( ) ( ) , ( ) ( 1 ) , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 0 ,3 2 7 2f x f f x f f f? ? ? ? ? ? ? ? ?極 小 極 大? )(xf 在 [－ 2,2]上的最大值為 ,29 最小值為 2750? 。 例 6 已知 a 為實數(shù) , ))(4()( 2 axxxf ??? 。設 ()fx在 [,]ab 上 連續(xù)，那么 ()fx在 [,]ab 上一定取得最大值M 和最小值 m ， ()fx若 在