【正文】 ???? ? ? ????????? ? ? ?用 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期 年 進 入 年 金 給 付 ， 定 期 年 每 年 末給 付 １ 單 位 元 的 延 期 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 ； 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期年 進 入 年 金 給 付 ， 定 期 年 每 年 年 首 給 付 １ 單 位 元 的 延 期 生 命 年 金的 現(xiàn) 值 ．? ?111x n x m nxxxn m n mNNDaa?? ? ??????顯 然 ，從概率的角度看： ? ? ? ? ? ?11100.Knm n nmnx x n m xnm kk n m n nknnmYKnY a a n K m na a K m na E Y a a q a a pnm????????? ???? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??期 首 付 延 期 年 ， 定 期 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 是 隨 機 變 量 設(shè)為 ， 即期 末 付 延 期 年 ， 定 期 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 的 結(jié) 論 是 什 么樣 的 ？延期終身生存年金 1110111xnxnx m t x x m t x mmtt xxx m t x x mmt xxxmmxxmxma x naxna E D NDDa E NDaaa a a??? ? ? ? ???????? ? ????????－ １：　 　 用 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期 年 進 入 年 金 給 付 ， 每 年 末 給 付１ 單 位 元 的 延 期 終 身 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 ； 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期年 進 入 年 金 給 付 ， 每 年 年 首 給 付 １ 單 位 元 的 延 期 終 身 生 命 年 金的 現(xiàn) 值 ．顯 然 ，－ （ 給 出 實 際 解 釋 ）在 概 率 的 角 度 下 ， 上 述 結(jié) 論 如 何 得 到 ？ 是 什 么 樣 ？一些公式 ::: : :::: : 111.2. 13.4.5. 16. 17.8.nnx n x x n n x x n x n x x n n x x nnnnxx n x nmmxx n m x m x m nx x x xnnx n x nxxx n x nx x n xnnxxn m n ma v p a E a an d a v p a E aa a Ea a v p aa a a an d a a aaaaaa a Eaa? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ????????P116， ， ， ， 。則 ：? ?? ?10110 1 0 1 0 11111 ( 1 ) ( 1 )22hxkmh x k x k x kxkmmmxhxkkhx mm m mx k x k x kk h k h k hxx x xxDhD D D DmaDmDhhD D Dm D m mm m m mm N N Nm D m m??? ? ? ????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????? ? ?????? ? ? ? ? ?是 一 個 非 整 數(shù) 年 齡 的 轉(zhuǎn) 換 函 數(shù) ， 為 了 便 于 計 算 ， 我 們 可 以 假 設(shè)在 兩 個 年 齡 之 間 它 是 線 性 的 。 則 與 具 有 的 差 額 ， 于 是 得 到 ，():()::11()::1( 1 )21()2( 2 32 )1( 1 )21()2( 2 34 )mxnmnxx n x nx x n x x nxmnxx n x nx x n x x nxa x nmma a EmmN N D DmDma a EmmN N D DmD? ? ? ???????? ? ???????? ? ???1用 表 示 某 人 歲 投 保 年 定 期 ， 一 年 給 付 m 次 ， 每 次 給 付 的期 末 年 金 保 險 的 現(xiàn) 值 。 則 ： P123 ， 變額生存年金 ? ? ? ?? ?? ?? ?0010:1 1 1:1k xkxxk xx x kkk xkxxk xx x n x nxnxx x n x nxnxSI a k v pDw he re S NSI a k v pDS S nNIaDS S nNIaD??????????? ? ? ? ?? ? ?????????????? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?111:011 2 2110nx x x nkkxxnk xnx x x nkkxxk xnN S SDa n k v pDnN S SDa n k v pD?? ? ???? ? ? ??????? ? ???? ? ??? 非整數(shù)年齡開始付款的生命年金 ? ?? ?1,111101xx u x xxxuqua a auq uqxu??????????定 理 假 設(shè) 死 亡 服 從 均 勻 分 布 則其 中 為 整 數(shù) ,? ? ? ?? ? ? ?1:,( 1 ) ( 1 ),1111:1,1:111u x k x u k x u x kx k x u k x x kkx x u x xxxuxx x xx u xxp p p puq p p uqvkuq a a u i i aui a u iauqa v a puquaauq?????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????????證 明 我 們 首 先 可 以 知 道由 于 死 亡 服 從 均 勻 分 布 可 以 得 到上 式 兩 端 分 別 乘 以 并 且 對 求 和 可 得即我 們 又 知 道我 們 得 到 所 要 的 公 式? ?? ?11111..xxxxx u x xx u x xauqqa u a uaa a a????????特 別 在 非 常 小 時 ,(222) 式 可 以 近 似 為 :這 一 近 似 結(jié) 果 在 實 際 的 應(yīng) 用 中 用 處 較 大 且 效 果 較 好 可 以 看 出 上 式 表 明實 質(zhì) 上 是 與 的 加 權(quán) 平 均 生存年金的遞推公式 1011111111111111:11111x x xkkx k x k xkkx k x k xkx x k xkkx k xktx t x x xtxa v p apr oo f a v p v pp p pa v p pv p v pv p v p v p aa??????????????????????? ? ??? ? ???? ? ? ??????定 理可 以 一 直 遞 推 下 去 ， 而 求 出 。 ? 定期繳付可變額的周期性保險費。即保險人收入的保險費的現(xiàn)值等于支出的保險金的現(xiàn)值。 ? 年繳均衡凈保費的概念。 設(shè)保險金的現(xiàn)值為 A,均衡凈保費為 P，則 : AA P a P a?? 即 對不同的保險和不同的保費交付方式，保險金現(xiàn)值和繳費現(xiàn)值的具體形式會有所不同。 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1.mmmmmmP m a mAP a AAPa??以 表 示 每 年 分 次 等 額 繳 付 的 年 繳 凈 保 費 ， 表 示 每 年 元 繳 付 次的 年 金 現(xiàn) 值 ， 表 示 保 險 金 現(xiàn) 值 ， 根 據(jù) 收 支 平 衡 原 則 ， 有 根據(jù)上面的分析，我們可以得到各種壽險年繳凈保費的計算公式： 保險種類 死亡年末賠付 死亡瞬時賠付 終身壽險 t年繳費終身壽險 n年繳費的 n年定期壽險 t年繳費的 n年定期壽險 n年繳費的 n年兩全壽險 t年繳費的 n年兩全壽險 對延期生命年金，當年金的支付發(fā)生在期首時，一年 m次繳費的年繳凈保費為： ? ?? ?:()m nxnx mxnaPaa? 當年金在期末支付時，有 ? ?? ?:()m nxnx mxnaPaa?? ?? ?? ?? ?? ?1,211122mm xx x x xmxxm xxxxxA mP a a d PmaaAPPmma d Pmm?? ? ? ? ?????? ? ?1對 于 , 將 和 代 入 得例 比例凈保費 對一定時期繳付一次保費的期繳保費保單，投保人會認為期初的繳費應(yīng)該為接下來的一期提供擔保，如果在期初繳費后被保險人出險，保險人不僅應(yīng)該按保險合同實施賠付，還應(yīng)該按比例退還從出險到下次預(yù)計繳費期間的保費部分。 在比例保費下，凈保費的精算現(xiàn)值等于保險賠付現(xiàn)值與比例退還保費現(xiàn)值