【正文】 表示某人在 25歲時通過了保險公司的健康審核，該人在 30歲時死亡的概率；或者說，在 5年前經(jīng)過健康審核的、現(xiàn)在 30歲的人的死亡概率。因此， 表示剛經(jīng)過選擇之后 x 歲人的死亡率； 表示在 1年前經(jīng)過選擇的 x+1歲人的死亡率； 表示在 2年前經(jīng)過選擇的 x+2歲人的死亡率；依此類推。這是因為，對每個人來說，其健康狀況總是隨著年齡的增長而越來越差的。 []xq[ ] 1xq ?[ ] 2xq ?[25] 5q ?[ ] [ ]x k j k x jqq? ? ? ?? 另一方面，隨著選擇時間的推移，這個差別卻會越來越小。 即從總體上來說， 與 的差別會隨著 j的增大而逐漸縮小。由選擇期內(nèi)的死亡率構(gòu)成的生命表即稱“選擇表”。習(xí)慣上將終極表并列在選擇表的右邊，這樣的生命表就是選擇終極表。 這張表規(guī)定的選擇期為 5年，即 5年過后，這種差別就可以忽略了。 解：所求概率為： 4 [ 73 ] 3 [ 73 ] 3 [ 73 ] 4 [ 73 ] 5 [ 73 ] 6[ 73 ] 3 [ 73 ] 4 [ 73 ] 5 [ 73 ] 6( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 88p p p p pq q q q? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? P23 [例 1． 7 ]根據(jù)下表計算 ， ， 和 解： 2 [30] 1p ?2 31][30]1 q[x] l[x] l[x]+1 l[x]+2 l[x]+3 x+3 30 31 33829 33804 33814 33788 33795 33768 33772 33744 33 34 [ 30 ] 1 2 [ 30 ] 32 [ 30 ] 1[ 30 ] 1 [ 30 ] 133772 833814llpll? ? ????? ? ? ?2 [30 2q ?[ 31 ] 2[ 31 ][ 31 ]33768 3533804lpl?? ? ?[ 30 ] 2 [ 30 ] 42 [ 30 ] 2[ 30 ] 233795 33744 0933795llql????? ?? ? ? [ 30 ] 1 [ 30 ] 2[ 30 ]1[ 30 ]33814 33795 233829llql??? ?? ? ? 死亡力 在對生命表的觀察我們可以看出，生命表對死亡規(guī)律的研究是把出生嬰兒未來存活時間視作僅有 整數(shù) 變動的離散隨機變量。 s(x) ： 1個剛出生的人存活到 x歲的存活概率，顯然 0 ≤ s(x) ≤1，又稱 s(x) 為 x的 存活函數(shù) ，它是 x的連續(xù)函數(shù)，并且 0 ≤ x ≤ ω 特別地： s (0)=1， s (ω)=0。研究表明，一般人口的生存函數(shù)， s(x) 的曲線形狀如 (P40圖 3一 1)下頁所示。 22） （ 3 由以上公式可得： 對以上積分式作一個代換，令 y = x + t ，其中 x是常量， t是變量，則 dy = dt ， y = x 時 t =0 ； y = x + n 時 t = n ： ????????????????????????????????????nxxyxynxyxynxyxynxydydydydydydydyxnxxneeeelelxslnxslllp???????0000000000)()( 所以： 對于公式（ 3 28） 以及： 同理： （ 3 29）。 28）和（ 3 xt p dttx?? txdtq ? 0l im t x t t x txttqqtt?? ? ? ?? ???? ??t x tx t t x tqdt t qt???? ? ?? ? ? ??dtptxxt ??? ? ???ntxxtxn dtpq 0 ?t? 對于 表示 x歲的人在 x 活到 x +n歲并在 x+n~x+n+m歲之間死去的概率。 如果按照離散的方式計算： 4 非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計 生命表是以整數(shù)年齡分組編制的，在人身保險精算實踐中，常常需要用到非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率。 這時需要在一定假設(shè)下利用離散的生命表函數(shù)進行估計。 2023025120120201100012025110002025205 ??????????????????????llp3061 p 3061q 1 死亡均勻分布假設(shè) (UDD假設(shè) ) 在一般情況下，可以認為死亡是均勻分布的，即在一年中各死亡者的死亡日期均勻分布在一年當中的每一時刻（沒有證據(jù)顯示一年當中的某一時刻、某幾天、某幾個月的死亡者特別多）。33） 證明：因為死亡均勻分布，同時 是關(guān)于 t的、在 [0， 1]上單調(diào) 下降的連續(xù)函數(shù)，我們運用線性 插值法：（如果死亡均勻分布， 則 、 和 在 一條直線上，如圖的 3個紅點， 并且： ） x t x xl l t d? ? ? ?txl ?(x , ) xl(x+t , ) txl ?(x+1, ) 1?xlx x+t x+1 xl txl ? 1?xl 1??? xxx lld 有： 即： 所以： 如果死亡不是均勻分布，則有以下近似公式成立： 0≤t≤1 由以上公式，可以計算出在非整數(shù)年齡下，各死亡概率與存活概率的近似計算公式如下，其中 0≤t≤1 ： )1()(1??????? ??xxlltxxll xxtxxxxxtxx dtlltll ?????? ?? )( 1xxtx dtll ????x t x xl l t d? ? ? ? 1x t x xt x xxxl l tdp tqll? ?? ? ? ?xxxtxt tqtqpq ?????? )1(11 ? 對于 假設(shè) t 和 y 都是小數(shù)，并且 0≤ t+y ≤1，因為如果 t+y1則令 t+y=1+s 于是就有 ： 0≤ s ≤1， 分子分母同除 ： txytxtxtxy lllq???????sxytx ll ???? ? 1x t x t yy x txtllql? ? ?????xl xxxxxxtxytxttxytqyqtqqyttqpppq????????????11))(1()1( 在死亡均勻分布的假設(shè)下，在 x+t 時刻的死亡力為： 因此： 例：在死亡均勻分布的假設(shè)下，用 p304的附表給出的生命表計算 ， ， ， 解： xtxxxxxxxxxxtxtxtx pqtqqtdldtdltdlll ???????????????? 1)()(?txxtx pq ??? ?2543q 2543 p212541 ?q 0005 343252543 ????? qq 31252543 ?????? qp432543 ?q 以上兩個概率分別表示為： 25歲的人在 3個季度內(nèi)死亡的概率； 25歲的人在 3個季度之后存活的概率； 25112542251 384 845681 1 3812qqq???? ? ?????3 3 1 3 1 3 2 2625 25 254 4 4 4 4 4 425 252625 25112441 4853533 41144q q p qqqqqq? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ?????? ? ? ???它表示 25歲半的人在 1個季度之內(nèi)死亡的概率。因此，在計算這一類問題時，只要將死亡概率變換為計算存活概率，就可能使計算更加簡化。用公式表示為： 實驗習(xí)題：對于 ，驗證以上近似公式成立。 解：其在 5年內(nèi)死亡的概率應(yīng)表示為： 5 1 5 1 3 1 76 77 78 79 1 8075 75 754 4 4 4 411q p p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ?年齡 qx px 75 76 77 78 79 80 其中 317544p和 1 804p在 3種假設(shè)下的概率值分別為： 均勻分布 常數(shù)死力 Balducci 75p1 804 p計算結(jié)果為： 均勻分布 常數(shù)死力 Balducci 5 幾個死亡解析規(guī)律的介紹 在 P40圖 31所表示的生存函數(shù)是包括了兩個拐點的減函數(shù)，它很難用簡單的數(shù)學(xué)形式準確的表示出來。 最早的也是最簡單的死亡規(guī)律是 亞伯拉罕 這一方法盡管很粗糙，但在當時對年金的計算起到很大的作用。龔泊茨 (Benjamin Gompertz)在一篇著名的精算論文中提出，死亡力應(yīng)當按指數(shù)規(guī)律增長： 式中， B＞ 0； C≥1； x＞ 0。 例：當 B=1， C = e 時，則 所以： 若利用以上公式編輯生命表，需要把 x縮小 倍。M 顯然馬克哈姆規(guī)律當 A=0時就是龔泊茨規(guī)律。 xx CBA ???? nx xk ??? 謝謝觀看 /歡迎下載 BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAITH