【正文】 ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????????證 明 我 們 首 先 可 以 知 道由 于 死 亡 服 從 均 勻 分 布 可 以 得 到上 式 兩 端 分 別 乘 以 并 且 對(duì) 求 和 可 得即我 們 又 知 道我 們 得 到 所 要 的 公 式? ?? ?11111..xxxxx u x xx u x xauqqa u a uaa a a????????特 別 在 非 常 小 時(shí) ,(222) 式 可 以 近 似 為 :這 一 近 似 結(jié) 果 在 實(shí) 際 的 應(yīng) 用 中 用 處 較 大 且 效 果 較 好 可 以 看 出 上 式 表 明實(shí) 質(zhì) 上 是 與 的 加 權(quán) 平 均 生存年金的遞推公式 1011111111111111:11111x x xkkx k x k xkkx k x k xkx x k xkkx k xktx t x x xtxa v p apr oo f a v p v pp p pa v p pv p v pv p v p v p aa??????????????????????? ? ??? ? ???? ? ? ??????定 理可 以 一 直 遞 推 下 去 ， 而 求 出 。 在比例保費(fèi)下，凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值等于保險(xiǎn)賠付現(xiàn)值與比例退還保費(fèi)現(xiàn)值之和。則 ：? ?? ?10110 1 0 1 0 11111 ( 1 ) ( 1 )22hxkmh x k x k x kxkmmmxhxkkhx mm m mx k x k x kk h k h k hxx x xxDhD D D DmaDmDhhD D Dm D m mm m m mm N N Nm D m m??? ? ? ????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????? ? ?????? ? ? ? ? ?是 一 個(gè) 非 整 數(shù) 年 齡 的 轉(zhuǎn) 換 函 數(shù) ， 為 了 便 于 計(jì) 算 ， 我 們 可 以 假 設(shè)在 兩 個(gè) 年 齡 之 間 它 是 線 性 的 。在實(shí)際中，通常只有生命表提供的整數(shù)年齡上的死亡率，因此需要做出如下變換： 100100111001110001.kttx x x t x x tkkksk s x x k skksk x s x k x k skx k x k s x ksksx k x x k xkA v p dt v p dtv p dsv p v p dsp q sit he n A v p q v ds A??????????????? ? ?????? ? ??? ? ? ??????????? ? ?? ? ????? ?? ?? ?tt在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有定期壽險(xiǎn) ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1:0222 2 1 1::2 1 2:011::000V a rTntx x txnx n x nntx x txnx n x nv t nZtA E Z v p dtZ Z E Z E Z A Aw he re A e p dtiAA???????? ??? ?????? ? ? ?????tt的 方 差 為 ：計(jì) 算 后 得 ，兩全壽險(xiǎn) 11: : :1 1 1: : : : :1x n x n x nx n x n x n x n x nA A AiiA A A A A??????? ? ? ? ?????在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有其他變額壽險(xiǎn) ? ?? ?? ? ? ?011: :011: :0( ) ( ) [ 1 ]( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]ttx t x x t x x t x x tnn xnnttt x x t x t x x tnxn xnnntx x x t x x tnn x n xniiA v p u dt A I A E z t v p u dt I AiI A t v p u dt I A I A t v p u dtiI A I A I A DA E z n t v p u dt DA????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????， ？？ ， 遞推公式 111001111111 1 10::/x x x xttx x t x t x x tttttx t x x t x x t x x tttkx x k x x k x x xkA v q v A pA v d l v p qv q v p q v q v p v p qv q v p v p q v q v p A????????????? ? ? ?????? ? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ??????終 身 壽 險(xiǎn) 的 現(xiàn) 值 之 間 有 這 樣 的 遞 推 公 式證 明實(shí) 際 意 義定 理 : 的 解 釋 :? ?? ?? ?111111011 0 , 1 , 2 ,1x x x xx k x k x k x kkkx x k x kkA v A v A qxkA v A v A q kvA v A q??? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ????把 上 式 改 成 下 式 :其 實(shí) 際 意 義 是 :本 式 是 對(duì) x 歲 終 身 壽 險(xiǎn) 現(xiàn) 值 的 分 解 , 如 果 對(duì) 在 歲用 本 式 , 可 以 得 到 :用 同 乘 以 兩 邊 , 并 累 加 在 一 起 , 可 以 得 到 :? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1111 1 111111,1,:1x x x xx x x x xx x x x xxxx x x x x xii A q q Ai A A A A qdvdA A A v A qAdAu A u A u Adx?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 兩 邊 乘 以 ( ), 有 ( )進(jìn) 一 步 ，實(shí) 際 意 義 的 解 釋 ： 由 還 可 將 上 式 寫 成 :此 式 的 實(shí) 際 意 義 是 : 對(duì) 于 死 亡 瞬 時(shí) 支 付 保 險(xiǎn) 金 的 終 身 壽 險(xiǎn) 我 們 可 以 得 到微 分 方 程 生存年金精算現(xiàn)值 ? 純粹的生存保險(xiǎn) ? 年付一次生存年金的精算現(xiàn)值 ? 生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系 ? 年付 m次生存年金的精算現(xiàn)值 ? 變額生存年金 ? 生存年金的遞推公式 純粹的生存保險(xiǎn) 生存保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人生存為給付條件的保險(xiǎn)，純粹的生存保險(xiǎn)是在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)人存活將得到規(guī)定的保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)。對(duì) (x)的 1單位元 n年兩全壽險(xiǎn)，是對(duì)（ x）的 n年定期壽險(xiǎn)和 n年純生存保險(xiǎn)的合險(xiǎn)。 主要內(nèi)容： 壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值 生存年金精算現(xiàn)值 均衡凈保費(fèi) 壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值 終身壽險(xiǎn) 定期壽險(xiǎn) 兩全壽險(xiǎn) 精算現(xiàn)值是保險(xiǎn)賠付在投保時(shí)的期望現(xiàn)值。若保險(xiǎn)金額是 20200元，求其應(yīng)付的躉繳凈保費(fèi)是多少元？ 標(biāo)準(zhǔn)變額壽險(xiǎn) ? ?111110:, 0 , 1 , ....KKKkkx kkbZ b v KA E Z b v q??????????? ? 在 承 接 人 壽 保 險(xiǎn) 業(yè) 務(wù) 的 實(shí) 際 工 作 中 ， 經(jīng) 常 會(huì) 遇 到 保 險(xiǎn) 金 額 隨著 保 險(xiǎn) 時(shí) 期 的 不 同 而 變 化 的 壽 險(xiǎn) 。11 1 11101,111xxx t xx t x x tt t tx x xxxx x x xx t x xt x x xaxaDNa E DD D DaxaN D N Na E aD D D? ? ????? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??（ 1 ） 用 表 示 某 人 歲 開 始 投 保 ， 支 付 年 金 的 時(shí) 間 是 每 年 年 末 ， 金 額單 位 元 的 生 命 年 金 現(xiàn) 值 ?；蛘哒f，被保險(xiǎn)人繳付的保險(xiǎn)費(fèi)現(xiàn)值與所收入的保險(xiǎn)金的現(xiàn)值相等。 躉繳凈保費(fèi)應(yīng)該等于各年均衡凈保費(fèi)的現(xiàn)值之和，均衡凈保費(fèi)的交付是以被保險(xiǎn)人存活為條件的，實(shí)際上是一個(gè)生存年金。（ 2 ） 計(jì) 算 ， 從概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保險(xiǎn)人整值余壽期間定期確定的年金，生存年金的精算現(xiàn)值是依賴于被保險(xiǎn)人整值余壽的期望值。（ 1 ） 遞 增 型 人 壽 保 險(xiǎn) 的 躉 繳 凈 保 費(fèi)（ 2 ） 遞 減 型 人 壽 保 險(xiǎn) 的 躉 繳 凈 保 費(fèi)（ 1）標(biāo)準(zhǔn)遞增終身壽險(xiǎn) ? ?? ?10100120 0 0 0( 1 )11( 1 ) ( 1 )11xtxtx