【正文】 ???把 年 定 期 壽 險 與 年 純 生 存 保 險 組 合 在 一 起 ， 兩 全 保 險現(xiàn) 值 隨 機 變 量 為 ：其 精 算 現(xiàn) 值 以 表 示 ， 有 兩全壽險現(xiàn)值隨機變量可以分解為定期壽險現(xiàn)值隨機變量和純生存保險現(xiàn)值隨機變量兩部分。定期壽險 2111:1211:21 11:2101111100xnx x x nxxxnnx x x x nxnnx x x nxnxnx x n xnnttx x ttttxlv d v d v dx l A lA l v d v d v dv d v d v dAlv q v q v qv q v d? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ????????假 設 在 歲 時 有 人 參 加 定 期 壽 險 ， 保 險 人 給 付 的 所有 保 險 金 的 現(xiàn) 值 為 ：歲 的 人 共 躉 繳 凈 保 費 為 ， 由 平 衡 原 理 ， 有 ：所 以 ： 11000//11()nx t xx x t xtx t x n t x x nttxxl v d l vC C M MDD???????? ? ? ???? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? ????????從概率的角度來看，我們的結論： ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1111:012212 1 1 2 1: : :01,:0 , 1 , ..., 10 , 1 , ....Va r ,Knkxkxnknkxkx n x n x nkxxv K nZk n nA E Z v qZZ A A w he re A e q?????????? ??? ??????? ? ???設 的 單 位 元 賠 付 n 年 定 期 壽 險 則 對 的 賠 付 款 的 現(xiàn) 值 隨機 變 量.故的 方 差 為 ：兩全壽險 兩全壽險是定期壽險和生存保險的合險。則 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?222 1 2 1220022,Var [ ]Varkkx x xkkkkxxZZ E Z E ZA E Z v q e qZ A AZ???? ? ?????? ? ?????對 于 賠 付 現(xiàn) 值 隨 機 變 量 計 算 方 差 ：它 相 當 于 以 計 算 躉 繳 凈 保 費 息 力 的 兩 倍 計 算 的 躉 繳 凈 保 費 ?；驈母怕实慕嵌葋砜?，我們可以得出這樣的結論： ? ? ? ? ? ?? ?? ?11111010,:, , ,:..,..KKKKk x x k xkkxx kkxkx x x kkx K x K xZvK b Z b vZK P K k p q qA E Z v qll A v d??????????????? ? ? ??????設 的 整 值 余 壽 為 簡 記 為 則 對 的 賠 付 款 的 現(xiàn) 值 就是 一 個 隨 機 變 量 .更 一 般 如 果 賠 付 額 也 依 賴 于 余 壽 以 表 示 則 .賠 付 現(xiàn) 值 的 隨 機 變 量 的 期 望 值 就 是 保 險 的 精 算 現(xiàn) 值 .的 概 率 分 布 函 數(shù) 為故在 上 式 兩 邊 同 乘 得 到給 出 直 觀 解 釋010, 1 0,110110110xxxx x ttxxxx x ttxxxD v l xN D xC v d x xM C xMAD???????????????????引 入 轉 換 函 數(shù) ：歲 存 活 人 數(shù) 每 人 單 位 元 在 歲 的 現(xiàn) 值 ；從 歲 起 到 生 命 最 大 值 歲 上 存 活 人 每 人 每 年 單 位 元 賠 付 在 歲 的 現(xiàn) 值 。 主要內容： 壽險精算現(xiàn)值 生存年金精算現(xiàn)值 均衡凈保費 壽險精算現(xiàn)值 終身壽險 定期壽險 兩全壽險 精算現(xiàn)值是保險賠付在投保時的期望現(xiàn)值。理論上，保險費又稱為總保費或毛保費，可以分為凈保費和附加保險費兩部分。第 6章 凈保費 保險公司銷售保險產(chǎn)品獲得保費收入，用于補償保單承諾的保險賠付和費用支出，同時實現(xiàn)利潤目標。 保費是投保人購買保險產(chǎn)品支付的價格，它是由保險公司的精算師根據(jù)保險產(chǎn)品的成本、利潤目標、市場競爭因素等制定的。 凈保費：補償保單所承諾的賠付和給付責任必需的繳費部分； 附加保險費：補償保險公司因出售和管理保單發(fā)生的費用需要 的繳費部分。 死亡年年末賠付的壽險 終身壽險 .xA用 表 示 終 身 壽 險 的 精 算 現(xiàn) 值110010//1.k x k xx x k x x k xkkkxx kkA v d l v d l vxA v q???? ? ????????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????其 中 實 質 上 是 一 個 有 限 的 數(shù) 。， 歲 死 亡 的 人 數(shù) 每 人 單 位 元 賠 付 在 歲 的 現(xiàn) 值 ；， 從 歲 起 到 生 命 最 大 值 歲 上 每 人 單 位 元 賠 付 在 歲 的 現(xiàn) 值 。的 方 差 反 映 賠 付 現(xiàn) 值 隨 機 變 量 的 變 動 程 度 ， 用 于 衡 量 保 險 公 司承 擔 的 風 險 賠 付 程 度 。對 (x)的 1單位元 n年兩全壽險，是對（ x）的 n年定期壽險和 n年純生存保險的合險。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1212121 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2121 2 1 2222 2 22,Va r Va rVa r +V a r 2C ovC ov0 , 0 ,Va r Va rVa r +V a r 2Va rnnZZnZnZ Z ZZ Z ZZ Z Z ZZ Z E Z Z E Z E ZZ Z Z Z E Z ZZ Z ZZ Z E Z E Zw he re Z E Z E Zvp????? ? ?? ? ??????????設 為 兩 全 壽 險 現(xiàn) 值 隨 機 變 量 ，為 年 定 期 壽 險 現(xiàn) 值 隨 機 變 量為 年 純 生 存 保 險 現(xiàn) 值 隨 機 變 量 則又和 不 會 同 時 發(fā) 生 ， 即 故? ?22.nnx n x n x n xv p v p q??延期 n年的終身壽險 ? ?111:10 0 , 1 , ..., 1, 1 , ...... .xnKk xnx x x xn k n xnkn xnx n x x nnn A x nKnZv K n nMA E Z v q A A ADA v p A??? ??????? ????? ? ? ? ??? 延 期 年 的 終 身 壽 險 ： 用 表 示 ， 某 人 歲 開 始 投 保 ， 延 期 年后 死 亡 年 末 給 付 單 位 元 的 延 期 終 身 壽 險 的 現(xiàn) 值 。延期 m年的 n年定期壽險 ? ?111 1 1 1::1:10 0 , 1 , ..., 1, 1 , ..., 1xmnKmnk x m x m nxxm n kx m n x mkm xxm n mxnm A xmKmZv K m m m nMMA E Z v q A ADAA???? ? ? ? ??????? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? 延 期 年 的 定 期 n 年 壽 險 ： 用 表 示 ， 某 人 歲 開 始 投 保 ，延 期 年 后 n 年 內 死 亡 年 末 給 付 單 位 元 的 延 期 壽 險 的 現(xiàn) 值 。例 1 某人在 25歲投保了定期 35年的人壽保險， 保險金于死亡年末給付，利率為 ，問（ 1）若保險金額為100000元，求起躉繳凈保費。（ 1）若保險金額 100000元，求其躉繳凈保費； （ 2）若詞人投保時依次繳付 1500元的凈保費，其保險金額是多少？ 例 3 在例 1中，把 15年的定期期限改成延期終身壽險，其他不變。 假 設 保 險 金 的 給 付 還 是 在 死 亡年 末 進 行 ， 則 對 隨 不 同 時 期 而 給 付 的 保 險 金 的 壽 險 現(xiàn) 值 ， 推 理 如下 ： 如 果 賠 付 額 隨 機 變 量 為 其 現(xiàn) 值 為躉 繳 凈 保 費 現(xiàn) 值 為 ：本 節(jié) 介 紹 當 保 險 金 隨 保 險 時 期 按 等 差 數(shù) 列 變 動 時 的 現(xiàn) 值 表 達 式 。? ?? ?12121111:01( ) ( ) ( )1()x x x x x x nxx x x x nxnx x x nx n kkxM M M M M MDnM M M MDnM R RAD? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?11 1:::11 1:::( 1 )