【正文】 ( 1 )xnx n x nxnx n x nD A I A n AD A n A I A? ? ?? ? ? 可 以 得 到 ：即 某人在 40 歲時投保了 3年期 10000元定期壽險，保險金在死亡年末賠付，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（ 19901993）（男女混合）和利率 5%計算躉繳凈保費。 死亡時賠付的壽險 終身壽險 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?02222220,0,1Va rTTTx x ttx x x txxtx x x tZ b v TbTpA E Z v p dtZ Z E Z E Z A Aw he re A e p dt??????????????? ? ? ????ttt賠 付 現(xiàn) 值 隨 機 變 量 為 ：表 示 死 亡 時 賠 付 額 函 數(shù) 。在實際中，通常只有生命表提供的整數(shù)年齡上的死亡率，因此需要做出如下變換： 100100111001110001.kttx x x t x x tkkksk s x x k skksk x s x k x k skx k x k s x ksksx k x x k xkA v p dt v p dtv p dsv p v p dsp q sit he n A v p q v ds A??????????????? ? ?????? ? ??? ? ? ??????????? ? ?? ? ????? ?? ?? ?tt在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有定期壽險 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1:0222 2 1 1::2 1 2:011::000V a rTntx x txnx n x nntx x txnx n x nv t nZtA E Z v p dtZ Z E Z E Z A Aw he re A e p dtiAA???????? ??? ?????? ? ? ?????tt的 方 差 為 ：計 算 后 得 ，兩全壽險 11: : :1 1 1: : : : :1x n x n x nx n x n x n x n x nA A AiiA A A A A??????? ? ? ? ?????在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有其他變額壽險 ? ?? ?? ? ? ?011: :011: :0( ) ( ) [ 1 ]( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]ttx t x x t x x t x x tnn xnnttt x x t x t x x tnxn xnnntx x x t x x tnn x n xniiA v p u dt A I A E z t v p u dt I AiI A t v p u dt I A I A t v p u dtiI A I A I A DA E z n t v p u dt DA????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????， ？？ ， 遞推公式 111001111111 1 10::/x x x xttx x t x t x x tttttx t x x t x x t x x tttkx x k x x k x x xkA v q v A pA v d l v p qv q v p q v q v p v p qv q v p v p q v q v p A????????????? ? ? ?????? ? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ??????終 身 壽 險 的 現(xiàn) 值 之 間 有 這 樣 的 遞 推 公 式證 明實 際 意 義定 理 : 的 解 釋 :? ?? ?? ?111111011 0 , 1 , 2 ,1x x x xx k x k x k x kkkx x k x kkA v A v A qxkA v A v A q kvA v A q??? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ????把 上 式 改 成 下 式 :其 實 際 意 義 是 :本 式 是 對 x 歲 終 身 壽 險 現(xiàn) 值 的 分 解 , 如 果 對 在 歲用 本 式 , 可 以 得 到 :用 同 乘 以 兩 邊 , 并 累 加 在 一 起 , 可 以 得 到 :? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1111 1 111111,1,:1x x x xx x x x xx x x x xxxx x x x x xii A q q Ai A A A A qdvdA A A v A qAdAu A u A u Adx?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 兩 邊 乘 以 ( ), 有 ( )進 一 步 ，實 際 意 義 的 解 釋 ： 由 還 可 將 上 式 寫 成 :此 式 的 實 際 意 義 是 : 對 于 死 亡 瞬 時 支 付 保 險 金 的 終 身 壽 險 我 們 可 以 得 到微 分 方 程 生存年金精算現(xiàn)值 ? 純粹的生存保險 ? 年付一次生存年金的精算現(xiàn)值 ? 生存年金與壽險的關(guān)系 ? 年付 m次生存年金的精算現(xiàn)值 ? 變額生存年金 ? 生存年金的遞推公式 純粹的生存保險 生存保險是以被保險人生存為給付條件的保險，純粹的生存保險是在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。 假設(shè) （ x）投純粹的生存保險，保期為 n年，如果 n年后仍存活，將得到 1單位元的保險金，求這一保險在投保時的現(xiàn)值。1/它 是 利 率 累 積 因 子 ? ?1/nx x ni l l?? 與 生 存 累 積 因 子 的 乘 積 。 年金保險中，在保險期內(nèi)年金的發(fā)放以被保險人存活為條件。 基本類型 終身年金 定期年金 延期年金 期首年金與期末年金 終身生存年金 年 金 的 支 付 以 被 保 險 人 生 存 為 條 件 ， 沒 有 期 間 限 制 ， 稱 為終 身 生 命 年 金 。（ 2 ） 計 算（ 3 ） 表 示 歲 人 投 保 終 身 生 命 年 金 保 險 而 在 每 年 年 首 得 到 支 付 1單 位 元 的 現(xiàn) 值 。 ? ?? ?? ?11100,1Kxx kKkkKxx kKkkL e t x K Kaa E a a qKaa E a a q??????????????的 整 值 余 壽 為 期 首 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內(nèi) 定期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即期 末 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內(nèi) 定 期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結(jié) 論 是 等 價 的 ， 如 何 證 ？定期生存年金 ? ?::1 1 1 111:1 2 3 1: : 111111111xnnnt x x t x t x n txnt t t txxx x nxxnx x x n xx n x na x na E D D DDDNNDa x na E E E E a??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?用 表 示 某 歲 人 投 保 一 定 期 年 ， 每 年 末 得 到 給 付 單 位 元 的期 末 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 。 我 們 有 ，11x x n x x x n x x nx x xN N D N N N ND D D? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?從概率的角度看： ? ?? ?? ?111: 1 10010,0.0.Knnnx x x n xk k kx n k n k nk k n kKnnx x n xkknkL e t x KYa K nYa K na E Y a q a q a q a pYa K nYa K na E Y a q a p?? ? ???? ? ??????????? ? ? ? ????????? ? ?? ? ??的 整 值 余 壽 為 期 首 付 定 期 n 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 是隨 機 變 量 ， 設(shè) 為 ， 即期 末 付 定 期 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 是 隨 機 變 量 滿 足 ：可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結(jié) 論 是 等 價 的 ， 如 何 證 ？延期定期生存年金 ? ?1 1 1 1110111xnmxnmmmx n t x x n t x n t x m n tnmt t t txxx n x m nxmx n t xnmta x n maxnma E D D DDDNNDaE??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??