高考理科數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)資料-閱讀頁
2024-09-09 14:49本頁面
【正文】 數(shù)學(xué) b ＋ c2b ＋ c2 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 36 因?yàn)閍 ＋ b2≥ ab 0 ，b ＋ c2≥ bc 0 ，c ＋ a2≥ ca 0 ， 所以a ＋ b2c ＋ a2≥ abc 0(*) 成立． 又因?yàn)?a 、 b 、 c 是不全相等的正數(shù)．所以 ( *) 式等號不成立， 所以原不等式成立． 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??nnnnnnn立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 39 若 n∈ N，且 n≥2，求證： 證明： 當(dāng) n≥2時(shí) , 即 所以 又 故原不等式成立 . 2 2 21 1 1 1 1 1 .2 1 2 3? ? ? ? ??nn2( 1 ) ( 1 ) ,n n n n n? ? ?21 1 1 1 1 .1 1???n n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 3 3 4 1 2 1? ? ? ? ? ? ? ???n n n n2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) 1 1 .2 3 2 2 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ?n n n n立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 41 又因?yàn)?y=lgx為增函數(shù)， 所以 故原不等式成立 . 點(diǎn)評： 利用函數(shù)的單調(diào)性證不等關(guān)系，一般先根據(jù)要證式子的特點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，然后證明或說明這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性質(zhì)得到所要證明的結(jié)論 . 21 2 1 21 1 2l g [ ( 1 ) ( 1 ) ] l g ( 1 ) ,??x x x x立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 43 第六章 不等式 第 講 （第三課時(shí)） 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 45 又 (1a)a≤( )2= ， 同理， (1b)b≤ ， (1c)c≤ ， 所以 (1a)a(1b)b(1c)c≤ ， 因此與假設(shè)矛盾，故結(jié)論正確 . 證法 2： 假設(shè)三式同時(shí)大于 . 因?yàn)?0＜ a＜ 1，所以 1a＞ 0， 12aa? 14141414164立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 47 求證：三條拋物線 y ＝ cx2＋ 2 ax ＋ b ， y＝ ax2＋ 2 bx ＋ c ， y ＝ bx2＋ 2 cx ＋ a ( a 、 b 、 c 為非零實(shí)數(shù) ) 中至少有一條與 x 軸有交點(diǎn)． 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 49 題型 7 用換元證不等式 2. 已知 a、 b∈ R， a2+b2≤4， 求證： |3a28ab3b2|≤20. 證明： 因?yàn)?a、 b∈ R， a2+b2≤4， 所以可設(shè) a=rcosθ,b=rsinθ,其中 0≤r ≤2， 所以 |3a28ab3b2|=r2|3cos2θ4sin2θ| =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20. 所以原不等式成立 . 立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 51 已知 1≤x2+y2≤2，求證： ≤x2xy+y2≤3. 證明 :設(shè) x=rcosθ,y=rsinθ,且 1≤r≤2,θ∈ R, 則 由 1≤sin2θ≤1，得 ≤1 sin2θ≤ . 又 1≤r2≤2，所以 ≤r2(1 sin2θ)≤3， 即 ≤x2xy+y2≤3. 2 2 2 2 2 2 2222 c os c os sin sin1 sin 2 ( 1 sin 2 )22x x y y r r rrrr? ? ? ???? ? ??? ，12123212 1212立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 53 由 x∈ R，知 Δ=(y+1)24(y1)2≥0， 解得 ≤y≤3且 y≠1. 綜合 (1)(2)，得 ≤y≤3，即 點(diǎn)評： 與二次式有關(guān)的不等式證明，可通過構(gòu)造二次方程，然后利用方程有實(shí)數(shù)解的充要條件得出式子的取值范圍，就是所要證明的不等式 . 1313221 13.31xxxx?????立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 55 已知函數(shù) f(x)=ln(x+1)x，若 x＞ 1，證明 : ≤ln(x+1)≤x. 證明： 令 f ′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， f ′(x)＞ 0。 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 56 所以 f(x)在區(qū)間 (1， 0)上是增函數(shù)， 在區(qū)間 (0， +∞)上是減函數(shù) . 所以當(dāng) x＞ 1時(shí)， f(x)≤f(0)=0， 即 ln(x+1)x≤0，故 ln(x+1)≤x. 令 則 令 g′(x)=0，得 x=0. 當(dāng) x∈ (1， 0)時(shí)， g′(x)＜ 0。 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 全國版 57 所以 g(x)在 (1， 0)上是減函數(shù)， 在 (0， +∞)上是增函數(shù)， 故當(dāng) x＞ 1時(shí)， g(x)≥g(0)=0， 即 故 綜上知， 1l n ( 1 ) ( 1 ) 01x x?? ? ，11 l n( 1 ) .1xx???11 l n ( 1 ) .1xxx? ? ??立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 183
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