高考理科數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差復(fù)習(xí)資料-閱讀頁
2024-09-09 14:45本頁面
【正文】 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?35 ? 1. 對(duì)離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意： ? (1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣 ， 是概率意義下的平均 . ? (2)Eξ是一個(gè)實(shí)數(shù) ， 由 ξ的分布列唯一確定 ， 即作為隨機(jī)變量 ξ是 可變的 ， 可取不同值 ， 而 Eξ是不變的 ， 它描述 Eξ取值的平均狀態(tài) . 36 ? (3)Eξ=x1p1+x2p2+… +xnpn+… 直接給出了 Eξ的求法 ， 即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加 . ? 2. 對(duì)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量 ， 可考慮把它拆成幾個(gè)比較簡單的隨機(jī)變量之和 ， 再把它們的期望相加 ， 就可求得原隨機(jī)變量的期望 .這是期望的分解原理 ， 可避免繁雜的計(jì)算 . 37 第十一章 概率與統(tǒng)計(jì) 第 講 （第二課時(shí)） 38 題型 4 求隨機(jī)變量的方差 ? 1. 已知離散型隨機(jī)變量 ξ的分布列為 ? 設(shè) η=2ξ+3，求 Eη， Dη. ξ 1 0 1 P 12131639 ? 解： 因?yàn)? ? 所以 ? 點(diǎn)評(píng)： 由隨機(jī)變量的分布列直接按公式計(jì)算可求得方差 .對(duì)相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量 ξ、η，若滿足一定關(guān)系式： η=aξ+b，則E(aξ+b)=aEξ+b， D(aξ+b)=a2Dξ(或Dξ=Eξ 2(Eξ)2). 2 2 21 1 1( 1 ) 12 6 31 1 1 1 1 1 51 0 13 2 3 3 3 6 9ED??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，7 2 02 3 4 .39E E D D? ? ? ?? ? ? ? ?，40 某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為 p ＝ . (1) 求一次投籃時(shí)命中次數(shù) ξ 的均值，方差； (2) 求重復(fù) 5 次投籃時(shí)，命中次數(shù) η 的均值與方差． 41 解： (1) 投籃一次，命中次數(shù) ξ 的分布列為： ξ 0 1 P 則 Eξ ＝ 0 ＋ 1 ＝ ， Dξ ＝ (0 － 0. 6)2 0. 4 ＋ (1 － 0. 6)2 ＝ 0. 24. (2) 重復(fù) 5 次投籃，命中次數(shù) η 服從二項(xiàng)分布，即 η ～ B (5, ) ， 故 Eξ ＝ 5 ＝ 3. Dξ ＝ 5 0. 6 ＝ 1. 2. 42 ? 2. 某突發(fā)事件 ， 在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為 ， 一旦發(fā)生 ， 將造成 400萬元的損失 .現(xiàn)有甲 、 乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用 .單獨(dú)采用甲 、 乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為 45萬元和 30萬元 ，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為 、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用 ， 聯(lián)合采用或不采用 ， 請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少 .(總費(fèi)用 =采取預(yù)防措施的費(fèi)用 +發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值 ) 題型 5 期望在實(shí)際問題中的決策作用 43 ? 解： (1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望值為 400 =120(萬元 )。 44 ? (4)若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為 45+30=75(萬元 )，發(fā)生突發(fā)事件的概率為 () ()=，損失期望值為 400 =6(萬元 )，所以總費(fèi)用為 75+6=81(萬元 ). ? 綜上分析，選擇聯(lián)合采用甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少 . ? 點(diǎn)評(píng)： 從兩種 (或多種 )隨機(jī)實(shí)驗(yàn)事件方案中進(jìn)行優(yōu)選或決策，一般是比較它們的期望值，期望值大就是平均值大 . 45 ? 春節(jié)期間 ， 某鮮花店購進(jìn)某種鮮花的進(jìn)貨價(jià)為每束 ， 銷售價(jià)為每束 5元 .若在春節(jié)期間沒有售完 ， 則節(jié)后以每束 的價(jià)格處理 .據(jù)往年有關(guān)資料統(tǒng)計(jì) ， 春節(jié)期間這種鮮花的需求量 ξ(單位：束 )服從下列分布： ? ? 問該鮮花店在春節(jié)前應(yīng)進(jìn)貨多少束鮮花為宜 ? ξ 20 30 40 50 P 46 ? 解： 依據(jù)題意，售出一束鮮花獲利潤 ，處理一束鮮花虧損 1元 . ? (1)若進(jìn)貨 20束，因?yàn)?P(ξ≥20)=1， ? 所以利潤的期望值 E1=1 20 =50(元 ). ? (2)若進(jìn)貨 30束，如果只能售出 20束，則利潤為 20 1=40(元 )。 ? (3)試問產(chǎn)量 q取何值時(shí)， Eξq取得最大值 . 50 ? 解： (1)由題意可得 ? 同理可得 ? ?321316 4 3 ( 3 20 10 )314 4 10 ( 0 ) .3qL q q q qqqq? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ＞323381 10 ( 0 )350 10 ( 0 ) .3qL q qqL q q? ? ? ?? ? ? ?＞ ，＞51 ? (2)由期望的定義可知， ? (3)由 (2)可知， Eξq是產(chǎn)量 q的函數(shù)，設(shè) 1 2 33333 144 10 ( 81 10 )33 ( 50 10 ) 100 10.33qE L L Lqqqqqqqq? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 100 10 ( 0 )3q qf q E q q?? ? ? ? ? ＞ ，52 ? 得 f ′(q)=q2+100. ? 令 f ′(q)=0， 解得 q=10或 q=10(舍去 ). ? 由題意及問題的實(shí)際意義 ， 當(dāng) 0＜ q＜ 10時(shí) ，f ′(q)＞
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