20xx屆二輪復(fù)習(xí)---坐標系與參數(shù)方程--學(xué)案文(全國通用)-閱讀頁
2025-04-03 03:08本頁面
【正文】 圓．將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上．所以a＝1.解決極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的方法(1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標系下的普通方程，這樣思路可能更加清晰.(2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡潔.(3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件.1．(參數(shù)幾何意義的應(yīng)用)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中，曲線C的極坐標方程是ρ＝2sin.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2)設(shè)點P(0，－1)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|的值．[解] (1)將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t并化簡，得直線l的普通方程為x－y－1＝0.曲線C的極坐標方程可化為ρ2＝2ρ，即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x2＋y2＝2y＋2x，故曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)將直線l的參數(shù)方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，得2＋2＝2，化簡，得t2－(1＋2)t＋3＝0.∵Δ0，∴此方程的兩根為直線l與曲線C的交點A，B對應(yīng)的參數(shù)t1，t2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．由直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1.2．(弦長及距離問題)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ.(1)求C1的極坐標方程與C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點P的極坐標為，φ＝，C1與C2相交于A，B兩點，求△PAB的面積．[解] (1)曲線C1表示過原點，且傾斜角為φ的直線，從而其極坐標方程為θ＝φ，ρ∈＝4cos θ＋2sin θ得ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，得x2＋y2＝4x＋2y，即曲線C2的直角坐標方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由(1)知曲線C1為θ＝，ρ∈R，將θ＝代入曲線C2的極坐標方程ρ＝4cos θ＋2sin θ得ρ＝3，故|AB|＝3.因為點P的極坐標為，所以點P到直線AB的距離為2.所以S△PAB＝32＝6.
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