【正文】 數(shù)學(xué)教學(xué)過程系統(tǒng)的四個要素，其中，教師是關(guān)鍵。它可使師生感情融洽如常。它可使學(xué)生積極思考，師生相互啟發(fā)，并能為教師思考贏得時間。它可使學(xué)生注意力從意外事件處無意識地轉(zhuǎn)移到學(xué)習(xí)上來。它可使教師很自然的從失誤中走出來。它可以避免節(jié)外生枝。：講解法、談話法、練習(xí)法、演示法、實(shí)驗(yàn)法、閱讀法、參觀法、討論法、實(shí)習(xí)法和復(fù)習(xí)法。談話法是教師使用談話、問答及對話的方式，根據(jù)學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)提出問題，啟發(fā)學(xué)生對所提問題積極思考，從而使學(xué)生自己得出結(jié)論，獲得新知識的一種教學(xué)方法。練習(xí)法是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，為鞏固知識或形成技能、技巧而反復(fù)地完成一定動作或活動方式的一種教學(xué)方法。實(shí)驗(yàn)法是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用某些具體材料或?qū)W具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，找出對象的性質(zhì)或問題的答案的一種教學(xué)方法。總結(jié)教師在課堂教學(xué)中的成功舉措和優(yōu)秀的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，診斷課堂教學(xué)中的不足，以便更有效地改進(jìn)教學(xué)。P10教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、教學(xué)方法、教師基本素質(zhì)、教學(xué)效果等幾個方面入手。嚴(yán)謹(jǐn)性要求對于任何數(shù)學(xué)結(jié)論，必須嚴(yán)格按照正確的推理規(guī)則，根據(jù)數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明和確認(rèn)的正確的結(jié)論（公理、定理、定律、法則、公式等），經(jīng)過邏輯推理得到。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科學(xué)的方法，包括其中豐富蕰涵的嚴(yán)格推理方法以及其他的思維方法?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀教師通過有效的教學(xué)組織，引導(dǎo)兒童將自己的經(jīng)驗(yàn)不斷地“數(shù)學(xué)化”。得到抽象化的數(shù)學(xué)知識之后，再把他們應(yīng)用到新的現(xiàn)實(shí)問題上去。二、開拓解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。四、提倡求異思維，探究求新，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性。初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，在情感態(tài)度和一般能力方面都能得到充分發(fā)展。經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程，掌握空間與圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題。二）數(shù)學(xué)思考經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)據(jù)描述信息、作出推斷的過程，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。初步形成評價與反思的意識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。 缺乏自覺性培養(yǎng)學(xué)生做自我檢查的能力和習(xí)慣教師先不說出自己的觀點(diǎn)，讓學(xué)生獨(dú)立地思考和判斷 缺乏靈活性遇到問題時存在一種思維惰性和習(xí)慣思維傾向 缺乏批判性培養(yǎng)思維的批判性：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯論、欣賞與眾不同、鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難兒童數(shù)學(xué)思維存在的不足及應(yīng)對措施（4）片面性不能脫離具體的表象把握其實(shí)質(zhì)，在分析和解決數(shù)學(xué)問題時，往往考慮得不夠全面 敏捷性差異較大培養(yǎng)思維的敏捷性：“快速反應(yīng)”訓(xùn)練 兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是他們的生活常識并非作為科學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯公理，而是在生活中形成的經(jīng)驗(yàn)充分運(yùn)用感性材料，從學(xué)生生活常識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，去幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是認(rèn)知、行為和情感共同參與的過程 行為參與：最基本的課堂參與形態(tài)認(rèn)知參與：淺層次的策略、深層次的策略、依賴型策略 情感投入：刺激、定向和調(diào)節(jié)的作用兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”的過程并不是簡單、被動地接受，而是將數(shù)學(xué)知識作為實(shí)踐性活動任務(wù)，在教師指導(dǎo)下，用他們自己理解的方法去探索 兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個教師啟發(fā)引導(dǎo)的過程 數(shù)學(xué)知識 數(shù)學(xué)表達(dá)的知識 關(guān)于學(xué)生的知識關(guān)于教學(xué)組織策略等方面的知識 教師的實(shí)踐性知識一、導(dǎo)入 具體方式 直接呈示 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 情境呈現(xiàn) 注意事項(xiàng) 順暢（自然而然）從已知引出未知（案例：等式）誘發(fā)、激起學(xué)生的求知欲，使學(xué)生做好心理上的準(zhǔn)備，使他們明確學(xué)習(xí)的課題、任務(wù)和要求盡量突出數(shù)學(xué)情境，適當(dāng)保留非數(shù)學(xué)情境，讓情境真正為課堂教學(xué)服務(wù) 新授 精講問自己：我要教什么？學(xué)生要學(xué)生什么？我打算怎么教？學(xué)生準(zhǔn)備怎么學(xué)？把握重難點(diǎn)：找最不易被學(xué)生理解的地方，找最易出錯的地方，找最易被教師忽視的地方 鞏固練習(xí)具體方式 動腦、動口、動筆 正、反 個人、小組、集體 注意事項(xiàng) 及時 充分 從簡單到復(fù)雜 具體方式 總結(jié) 按總結(jié)內(nèi)容 側(cè)重知識 側(cè)重過程與方法 按總結(jié)主體 教師 學(xué)生 具體方式 按總結(jié)時間 當(dāng)節(jié)課末尾 下節(jié)課開頭 按總結(jié)方式 注重總結(jié) 拔高設(shè)疑 教學(xué)設(shè)計(jì) 含義：為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)對教什么、怎樣教以及達(dá)到什么結(jié)果所進(jìn)行的策劃。隨錄如下“近年來國際小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)”，所歸納的數(shù)學(xué)覺得完備而合乎我現(xiàn)有的認(rèn)識，內(nèi)容如下，一是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性；二是重視以學(xué)生為主體的活動；三是與信息技術(shù)的結(jié)合；四是重視教育過程的個性化與差別化；五是關(guān)注與其他學(xué)科的綜合。這次數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)該讓喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生多起來。，P13“本次義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程改革，強(qiáng)調(diào)從以獲取知識為數(shù)學(xué)教育首要目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注人的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的培養(yǎng)，同時使學(xué)生獲得作為一個公民適應(yīng)現(xiàn)代生活所必需的基本數(shù)學(xué)知識和技能。”P27在新教材中，每個知識點(diǎn)編排按照“問題情境－建立模型－解釋、應(yīng)用與拓展”的結(jié)構(gòu)。”P33，在解決街頭數(shù)學(xué)問題中，兒童用的是自己的口頭語言甚至是直覺的方式，而學(xué)校所教授的是書面和符號方法。P3P15都論及小學(xué)數(shù)學(xué)所應(yīng)當(dāng)具有的特點(diǎn)是，“第一，小學(xué)數(shù)學(xué)具有現(xiàn)實(shí)性質(zhì)，數(shù)學(xué)來自于現(xiàn)實(shí)生活，再運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去。第三，要通過數(shù)學(xué)教育，促進(jìn)學(xué)生的一般發(fā)展。它包括數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)看做一種強(qiáng)有力的審視情境的方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在他們是否能夠自信地接近目標(biāo)，樂于探索，具有意志力和興趣，以及能否有反映他們自己思維的傾向性等幾方面。167。D有f(x)163。L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上的一個上(下)界．根據(jù)定義，f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個有上(下)界的數(shù)集．又若M(L)為f在D上的上(下)界，則任何大于(小于)M(L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界．定義2 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若存在正數(shù)M，使得對每一個x206。M，(1)則稱f為D上的有界函數(shù)．根據(jù)定義，f在D上有界，意味著值域f(D)是一個有界集．又按定義不難驗(yàn)證： f在D上有界的充要條件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的幾何意義是：若f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在直線y=M與y=M之間．例如，正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx為R上的有界函數(shù)，因?yàn)閷γ恳粋€x206。1和cosx163。D，使得f(x0)M，則稱f為D上的無上界函數(shù)．167。DD上的上確界．類似地，若f在其定義域D上有下界，則f在D上的下確界記為inff(x)．x206。inf{f(x)+g(x)} ；x206。Dx206。supf(x)+supg(x)．x206。Dx206。D有inff(x)163。g(x)222。f(x)+g(x)．x206。Dx206。d上式表明，數(shù)inff(x)+infg(x)是函數(shù)f+g在D上的一個下界，從而x206。Dinff(x)+infg(x)163。Dx206。D(ii)可類似地證明(略)．注例2中的兩個不等式，其嚴(yán)格的不等號有可能成立．例如，設(shè)f(x)=x,g(x)=x,x206。1|x|163。1|x|163。1|x|163。D,當(dāng)x1x2時，總 有（i）f(x1)163。(ii)f(x1)179。R,當(dāng)x1x2時總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因?yàn)閷θ魏蝬1x2206。 [x2]．但R上不是嚴(yán)格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個交點(diǎn)，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設(shè)y=f(x),x206。f(D)，有x206。x，由f在D上的嚴(yán)格增性，當(dāng)x1x2時f(x1)y，當(dāng)x1x時有f(x1)y，總之f(x1)185。f(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一個x206。f(D)．1(y)，現(xiàn)證f1也是嚴(yán)格增的．任取y1,y2206。設(shè)x1=f1(y1),x2=f1(y2)，則y1=f(x1),y2=f(x2)．由y1y2及f的嚴(yán)格增性，顯然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函數(shù)f21是嚴(yán)格增的．例5 函數(shù)y=x在[—165。(0,+165。y=x在（0，+165。[0，+165。但y=x在2167。1)的定義域拓廣到整個實(shí)數(shù)集R．下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴(yán)格單調(diào)性．例6 證明：，y=ax當(dāng)a1時在R上嚴(yán)格增；當(dāng)0證設(shè)a1．給定x1,x2206。arar2163。D，有f(x)=f(x)(f(x)=f(x))，ax當(dāng)a1時在(0，+165。D有f(x177。例如，sinx的周期為2p，tanx的周期為p．函數(shù) f(x)=x[x],x206。教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)活動主體預(yù)先確定的在具體教學(xué)活動中所要達(dá)到的并可觀測的教學(xué)結(jié)果。是可行的能達(dá)到的目標(biāo)。教學(xué)機(jī)智：也稱課堂應(yīng)變能力，指教師在教學(xué)過程中隨機(jī)應(yīng)變處理各種突發(fā)問題的能力。課程：簡單的理解，課程就是學(xué)校為學(xué)習(xí)者設(shè)計(jì)的教育內(nèi)容的序列。）學(xué)科課程：是以學(xué)科的形式來組織教學(xué)內(nèi)容的一種課程，它以人類對知識經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)分類為基礎(chǔ)，按照一定的價值標(biāo)準(zhǔn)，從不同的知識領(lǐng)域或?qū)W術(shù)領(lǐng)域選擇一定的內(nèi)容，根據(jù)