【正文】 特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。（2）在三角形的中線問(wèn)題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問(wèn)題?！螩AB=30176。（在等腰三角形的兩個(gè)底角處標(biāo)明度數(shù)）思路點(diǎn)撥: 在三角形中，“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”，本題應(yīng)從角度入手進(jìn)行考慮。解析：總結(jié)升華：對(duì)圖形進(jìn)行分割是近年來(lái)新出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況以及動(dòng)手實(shí)踐能力，本類題目的答案有時(shí)不唯一。請(qǐng)你先閱讀下面的證明過(guò)程。上面的證明過(guò)程是否正確？如果正確，請(qǐng)寫出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請(qǐng)指出關(guān)鍵錯(cuò)在哪一步，寫出你認(rèn)為正確的證明過(guò)程。因?yàn)樵凇鰽BE和△AEC中有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定它們?nèi)?。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。（1）請(qǐng)猜一猜：圖4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點(diǎn)分別在線段BC、CA的延長(zhǎng)線上，其它條件下不變，如圖5所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立。所以∠ACM=∠BAN。類型二：與度數(shù)有關(guān)的計(jì)算2．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30176。思路點(diǎn)撥: 解該題的關(guān)鍵是要找到∠2和∠1之間的關(guān)系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關(guān)系問(wèn)題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為欲找出∠2與∠B之間有什么關(guān)系，變成△ABD的角之間的關(guān)系，問(wèn)題就容易的多了?！唷螧=180176。－2∠2∴3∠2=∠1+180176?！唷?=70176。舉一反三：【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122176?！敬鸢浮俊連E=BA∴∠2=∠BAE∵CD=CA∴∠1=∠CAD∵∠1+∠CAD+∠C=180176?！唷?=∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180176。－（∠1+∠2）∴∠DAE=90176。－61176?！咀兪?】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30176?！敬鸢浮俊?AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD∵∠AED=∠C+∠EDC∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD∴∠EDC=∠BAD=15176。（2）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm，求周長(zhǎng)。解析：（1）因?yàn)?+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，周長(zhǎng)為8+8+10=26；當(dāng)腰長(zhǎng)為10時(shí)，周長(zhǎng)為10+10+8=28；故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為26cm或28cm?？偨Y(jié)升華：對(duì)于此類題目在進(jìn)行分類討論時(shí)，必須運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系來(lái)驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形舉一反三：【變式1】當(dāng)頂角或底角不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求它的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【答案】（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為x，則底角為4x，∴ 4x+4x+x=180176?！?4x=80176。80176。（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時(shí)，設(shè)底角為x，則頂角為4x，∴ x+x+4x=180176?！?4x=120176。30176。故三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為20176。80176。30176?！咀兪?】當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時(shí)，必須分類討論等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25176?！敬鸢浮吭O(shè)AB=AC，BD⊥AC；（1）高與底邊的夾角為25176?！唷螩=90176。25176。∴ ∠ABC=∠C=65176。265176。圖1（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時(shí)，①如圖2，高在△ABC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)∠ABD=25176。∠ABD=65176?！螦）247。；②如圖3，高在△ABC外部時(shí)，∠ABD=25176?！螦BD=90176。=65176。65176。∴∠ABC=∠C=（180176。）247。故三角形各內(nèi)角為：65176。50176。176?；?15176。176。求底角B的度數(shù)。則∠A=900∠ADE=50176。50176。2=65176。則∠DAE=50176?！逜B=AC，∴∠B=（180176。）247。故∠B的大小為65176?！咀兪?】由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，求腰長(zhǎng)。類型四：證明題4．已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過(guò)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。思路點(diǎn)撥: 因?yàn)镈E＝DF＋FE，即結(jié)論為BD＋EC＝DF＋FE，分別證明BD＝DF，CE＝FE即可，于是運(yùn)用“在同一三角形中，等角對(duì)等邊”易證結(jié)論成立?？偨Y(jié)升華：在三角形中，利用“等角對(duì)等邊”證明線段相等，是一種常用的方法。求證：（1）∠AOB＝120176?！敬鸢浮浚?）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∠BCD＝∠BCE＋∠DCE且∠ACD＝∠BCE＝60176?！唷?＋∠2＝60176。＋60176。（2）∵∠ACD＝∠BCE＝60176。在△CMA和△CND中∴△CMA≌△CND（ASA）∴CM＝CN（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60176。又∵∠DCA＝60176。CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如圖所示）?！敬鸢浮浚?）∵CE、CD三等分∠ACB∴∠1＝∠2＝∠3＝30176?！螦＝30176?！郃B＝2BC（2）∵∠A＝∠1＝30176?！唷鰾CE是等邊三角形，∴EC＝EB∴CE＝EA＝EB 學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一、填空：等腰三角形的的兩邊長(zhǎng)為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為______cm。等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40176。在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，則△ABC是____________三角形。等腰三角形的一個(gè)角是80176。二、選擇題：3：3，則這個(gè)三角形是（）176。120176。75176。52176。70176。96176。62176。68176。45176。60176。（1）等腰三角形的一個(gè)角為50176。（2）等腰三角形的一個(gè)外角為100176。等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長(zhǎng)分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長(zhǎng)。圖2求證：AE＝CD。判斷△ABC的形狀并證明。因?yàn)槿魞蛇叾际侵苯沁叄瑒t用（SAS）全等識(shí)別法就可以證它們?nèi)?。因?yàn)槿羝渲幸贿吺侵苯沁?，另一邊是斜邊，則可用（HL）定理證全等。若一個(gè)三角形較長(zhǎng)的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長(zhǎng)的直角邊相等，則顯而易見(jiàn)兩個(gè)三角形不全等。如圖所示，是城市部分街道示意圖，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G為“公共汽車”?？奎c(diǎn)，“甲公共汽車”從A站出發(fā)，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)F站，“乙公共汽車”從B站出發(fā)，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)G站。12（2cm不能為腰長(zhǎng)，只能為底邊長(zhǎng)（2+2＜5），所以周長(zhǎng)為2+5+5=12（cm）。13或11（3cm既能為腰長(zhǎng)，又能為底邊長(zhǎng)(5+5＞3+3＞5)，∴周長(zhǎng)為3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。50176。（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形內(nèi)，也可能在三角形外，因此要分類討論。等邊5。；45176。6。20176。50176。是銳角，即可以是頂角，也可以是底角。＝90176。＝135176。∴三角形為等腰直角三角形。點(diǎn)撥：本題綜合考查三角形全等識(shí)別法和等腰三角形性質(zhì)定理。三、解答題設(shè)其腰長(zhǎng)為x，則底邊長(zhǎng)為（12－2x），由題意得：解得3＜x＜6 ∵x為整數(shù)∴x=4或5 ∴該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：4或2。、65176。、80176。(2)分兩種情況：①若已知的角為頂角的外角，則頂角=180176。=80176。－100176。所以頂角=180176。2=20176?；?0176?！嘣摰妊切蔚母鬟呴L(zhǎng)分別為cm、cm、cm或cm、cm、cm?！摺鰾DE是等邊三角形∴BE＝BD，∠DBC＝60176?！逥是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD＝CD又∵BF＝CE，由（HL）全等識(shí)別法可知△BFD≌△CED。：甲、乙兩同學(xué)的回答都是片面的。恰恰原命題中丟掉了“對(duì)應(yīng)”二字，丙同學(xué)的論斷是正確的。點(diǎn)撥：本題恰又是一個(gè)易錯(cuò)題，甲、乙兩同學(xué)的錯(cuò)誤常出現(xiàn)在日常學(xué)習(xí)中，需引起注意。理由如下：∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE∴△ABC和△ECD都是正三角形∴∠ACB＝∠ECD＝60176。∴∠BCE＝∠ACD＝120176。∠CBE＝∠CAD在△BCF與△ACG中，∠CBF＝∠CAGBC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60176。能力提升：、D兩點(diǎn)在線段AB的中垂線上，且∠ACB=50176。求∠CAD的度數(shù)。如果D、E是直線AB上的兩點(diǎn)，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)?！叭酎c(diǎn)P在一邊BC上（如圖（1）），此時(shí)結(jié)論：”。與h之間又有怎樣的關(guān)系？ 16（2）若不用上述信息，你能用其他方法證明猜想結(jié)論嗎？答案與解析：1．（1）如圖，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的同側(cè)時(shí)，∵C、D兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，∴CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE=∠BCE，而∠ACB=50176。同理可得∠ADE=40176。25176。（2）如圖，當(dāng)C、