【正文】 =∠2，求證：AD⊥BC。證明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）?！敬鸢浮康谝徊藉e誤。正確的證明過程是：因為EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC?！咀兪?】已知△ABC為等邊三角形，在圖4中，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點?！敬鸢浮浚?）題通常猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60176。（2）題的證明過程如下：因為△ABC為等邊三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60176。在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60176。求∠2的度數(shù)。解析：∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴ ∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180176。－2∠2∴∠2=∠1+180176?！摺?=30176?？偨Y(jié)升華：關(guān)于角度問題可以通過建立方程進(jìn)行解決。求∠DAE的度數(shù)?！唷?=∵∠2+∠BAE+∠B=180176。－∠BAC∴∠1+∠2=∵∠DAE=180176。－=90176。=29176。求∠EDC的度數(shù)。類型三：等腰三角形中的分類討論3．當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進(jìn)行分類討論（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。思路點撥: 由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。（2）當(dāng)腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。∴ x=20176。于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：20176。80176。∴ x=30176。于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：30176。120176。80176?；?0176。120176。求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)。時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如右圖，∵∠DBC=25176?！螪BC=90176。=65176?！螦=180176。=50176。時，∠A=90176?！?∠C=∠ABC=（180176。2=176。圖2∴ ∠BAD=90176。25176。∴ ∠BAC=180176。=115176。115176。2=176。65176?；?5176。176。176。圖3【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40176。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；解：（1）如圖，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40176?！逜B=AC，∴∠B=（180176。）247。（2）如圖，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點D，∠ADE=40176。∴∠BAC=130176。130176。2=25176?；?5176?！敬鸢浮咳鐖D，∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）（BC+CD）=3時，則ABBC=3，∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；（2）當(dāng)（BC+CD）（AB+AD）=3時，則BCAB=3，∵BC=5 ∴AB=BC3=2；但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2，2，5；而2+2＜5，不合題意，舍去；故腰長為8。求證：BD＋EC＝DE。解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵BF平分∠ABC∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3∴DB＝DF（等角對等邊）同理：EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF即BD＋EC＝DE。舉一反三：【變式1】如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。；（2）CM＝CN；（3）MN∥AB?！唷螦CE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠3＝∠2∵∠1＋∠3＝60176?！唷螦OB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60176。＝120176?！唷螹CN＝60176。∴△CMN是等邊三角形∴∠NMC＝60176?！唷螻MC＝∠DCA∴MN∥AB【變式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90176。求證：（1）AB＝2BC；（2）CE＝AE＝EB。又∵CD⊥AB，∴∠B＝60176。在Rt△ABC中，∠A＝30176。∴CE＝EA又∵∠B＝∠BCE＝60176。等腰三角形的的兩邊長為3cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。則頂角為_____。若直角三角形斜邊上的中線垂直于斜邊，則它的兩個銳角的度數(shù)是____________。則其他兩個角的度數(shù)是____________。的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）圖1①30176。；②25176。；③38176。；④55176。；⑤42176。；⑥28176。；⑦56176。；⑧45176。；⑨60176。為兩內(nèi)角可以構(gòu)成的三角形中，有等腰三角形（），不能判斷它們?nèi)鹊氖牵ǎ?、一腰對?yīng)相等、一腰對應(yīng)相等、底邊對應(yīng)相等三、解答題等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數(shù)，求各邊長。求另外兩個角的度數(shù)。求該等腰三角形的頂角。如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。如圖3所示，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點E、F，且BF＝CE。圖3“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學(xué)給出了如下論斷：甲：正確。乙：正確。丙：不正確。請你就這三個同學(xué)的見解發(fā)表自己的意見。如果甲、乙分別同時從A、B站出發(fā)，在各站耽誤的時間相同，兩車速度也一樣，試問哪一輛公共汽車先到達(dá)指定站？為什么？答案與解析：一、填空題1。）2。）3。或130176。）4。45176。點撥：等腰三角形三線合一。80176?；?0176。點撥：80176。二、選擇題點撥：三個外角度數(shù)分別為360176。360176。135176。 點撥：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)定理，排除②③⑥。A（SAS），B（SSS），D（ASA）。(1)分兩種情況：①若已知的角為頂角，則另外兩個角均為底角，設(shè)其度數(shù)為x,則2x+50=180，解得：x=65；②若已知的角為底角，可設(shè)頂角為y，則502+y=180, 解得：y=80綜上所述：另兩個角分別為65176?；?0176。注意該題的變式：題中有可能把問題變成要求頂角的度數(shù)，也要注意分類討論。－100176。；②若已知的角為底角的外角，則底角=180176。=80176。－80176。綜上所述：該等腰三角形的頂角=80176。解：設(shè)腰長為xcm，底邊長為ycm,則：或解得或∵，∴以上兩解均合乎題意。：∵△ABC是等邊三角形∴AB＝BC，∠ABC＝60176。由（SAS）全等識別法可知△ABE≌△CBD，∴AE＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）5．解：△ABC是等腰三角形證明：∵DF⊥AB，DE⊥AC∴∠BFD＝∠CED＝90176?！唷螧＝∠C，即△ABC是等腰三角形。他們都想當(dāng)然地理解成兩邊是對應(yīng)的。所以我們一定要重視全等三角形中的“對應(yīng)”二字。：同時到達(dá)?！唷螦CE＝60176。∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE＝AD。∴△BCF≌△ACG（ASA）∴CF＝CG又甲公共汽車的路程和為AD＋DE＋EC＋CF乙公共汽車的路程和為BE＋ED＋DC＋CG，∴兩車同時到達(dá)指定站?！螦DB=80176。，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40176?！鰽BC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，△ABC的高為h。可得（1）請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)（如圖（2））、點P在△ABC外（如圖（3））這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。∴∠ACE=25176。∴∠CAD=∠ADE∠ACE=40176。=15176?！螦DE=40176。（∠ADE+∠ACE）=180176。+25176。65176。故∠CAD的度數(shù)為15176。2.（1）當(dāng)點D、E在點A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖1，圖1圖2∵BE=BC，∴∠BEC=（180176。2，∵AD=AC，∴∠ADC=（180176。2=∠BAC247?！螦BC）247。2=（180176。2=∠ACB247。247。（2）當(dāng)點D、E在點A的同側(cè)，且點D在D’的位置，E在E’的位置時，如圖2，＝∠ACB247。與（1）類似地也可以求得（3）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且E點在E’的位置時，如圖3，圖圖4∵BE’=BC，∴∵AD=AC，∴∠ADC=（180176。2=∠BAC247。（180176。2，=90176。2=90176。247。（4）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且點D在D’的位置時，如圖4，∵AD’=AC，∴∵BE=BC，∴∠BEC=（