【正文】 → R), S → P , Q結(jié)論：S →R（4）前提：(P∨Q)→(R∧S),(S∨M)→ U結(jié)論：P →U（5）前提：P →┐Q,┐R∨Q ,R∧┐S結(jié)論：┐P（6）前提：P∨Q，P →R, Q → S結(jié)論：R∨S證明：（1）① R前提引入②(Q174。216。P①②析取三段論④ R218。(P174。216。S)前提引入⑥ P174。Q)217。P)③⑥合取規(guī)則⑧ P?Q⑦置換規(guī)則（2）① M∧R前提引入② M①化簡規(guī)則③ S 171。 S前提引入⑧(S → Q)∧(Q → S)⑦ 置換⑨ S → Q⑧化簡規(guī)則⑩ Q⑥ ⑨假言推理(11)Q →P前提引入(12)P(13)P∧Q（3）① S → P②S③ P④ P →(Q → R)⑤ Q → R⑥ Q⑦ R（4）① P② P∨Q③(P∨Q)→(R∧S)④ R∧S⑤ S⑥ S∨M⑦(S∨M)→ U⑧ U（5）① P② P →┐Q③ ┐Q④ ┐R∨Q⑤ ┐R⑥ R∧┐S⑦ R⑧ R∧┐R（6）⑩(11)假言推理⑩(12)合取前提引入附加前提引入① ②假言推理 前提引入③④ 假言推理前提引入⑤⑥假言推理附加前提引入①附加規(guī)則前提引入②③ 假言推理④化簡規(guī)則⑤附加規(guī)則前提引入⑥ ⑦假言推理結(jié)論否定引入前提引入① ②假言推理前提引入③④析取三段論前提引入⑥化簡規(guī)則⑤⑦合取① ┐(R∨S)結(jié)論否定引入② ┐R∧┐S①置換規(guī)則③ ┐R②化簡規(guī)則④ P →R前提引入⑤ ┐P③④拒?、?┐S②化簡規(guī)則⑦ Q → S前提引入⑧ ┐Q⑥ ⑦拒?、?┐P∧┐Q⑤⑧合?、?┐(P∨Q)⑨置換規(guī)則(11)P∨Q前提引入(12)┐(P∨Q)∧(P∨Q)⑨11 合取3．在命題邏輯中構(gòu)造下列推理的證明：（1）如果今天是星期六，我們就要到頤和園或圓明園去玩。今天是星期六。所以我們到圓明園玩。所以，如果我看書，則明天是雨天。所以，小王是文科生。前提：P →(Q∨R), S → ┐Q , P , S結(jié)論：R證明：① ②假言推理④ P前提引入⑤ P →(Q ∨ R)前提引入⑥ Q ∨ R④⑤假言推理 ⑦ R③⑥析取三段論（2）首先將命題符號化：令P：明天是晴天，Q：明天是雨天，R：我看電影，S：我看書。前提:P→R, ┐Q→P, ┐R結(jié)論：Q證明：① P→R② ┐R③ ┐P④ ┐Q→P⑤ Q: 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式①AB=A 219。②(AB)C =(AC)(BC)證明：①必要性。與AB=A矛盾。顯然AB205。任取x∈A，則如果x屬于B，則x屬于A∩B，與A∩B=Φ矛盾。從而證明了A205。命題得證。(AC)(BC)=(A∩～C)∩～(B∩～C)=(A∩～C)∩(～B∪C)=(A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C)=(A∩～C∩～B)∪Φ= A∩～B∩～C.∴(AB)C =(AC)(BC)7．設(shè)R是A上的二元關(guān)系，試證：R是傳遞的當且僅當R2205。R。R）∵R傳遞 ∴∈R∴R2 205。R，若，∈R則∈R2，∵R2 205。即R傳遞。證明:(1)∵ R1,R2是A上的自反關(guān)系∴ IA205。IA205。R1UR2∴ R1UR2是A上的自反關(guān)系又∵ R1,R2是A上的對稱關(guān)系∴ R1=R11217。(B200。B)200。C)．證明：設(shè)S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，則x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，也即x∈A∩B 或 x∈A∩C，即 x∈T，所以S205。S． 因此T=S．試證明集合等式A200。C)=(A200。(A200。(B199。B)199。C)，若x∈S，則x∈A或x∈B199。B 且 x∈A200。T．反之，若x∈T，則x∈A200。C，即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈B199。S．因此T=S．試證明（$x）（P（x）∧R（x））222。A=B180。A，則206。A，因為A180。B，故206。B，則有x206。B． 設(shè)x206。B180。A=B180。A180。A，所以B205。A，存在b206。R，則R是等價關(guān)系．證明：已知R是對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，只需證明R是自反關(guān)系．a(chǎn)206。A，使得206。R；又R是傳遞的，即當206。R 222。R；由元素a的任意性，知R是自反的．所以，R是等價關(guān)系．8．若非空集合A上的二元關(guān)系R和S是偏序關(guān)系，試證明：R199。A,x,x206。S222。R199。S有自反性；②x,y206。S217。S219。R217。S)217。R217。S)219。R217。R)217。S217。S)219。y=x219。S有反對稱性．③x,y,z206。R199。y,z206。S219。R217。S217。R217。S219。R217。R217。S217。S222。R217。S219。R199。S有傳遞性．總之，R是偏序關(guān)系．9．試證明命題公式(P174。216。216。Q與216。216。(Q218。R))217。P217。(216。(Q218。R))217。P217。(216。Q218。R)217。P217。(216。216。Q)218。216。Q)218。R217。P217。(216。Q)218。P217。(216。Q217。R)219。P217。216。216。（$x）P（x）∧（$x）R（x）．證明：（1）（$x）（P（x）∧R（x））P（2）P（a）∧R（a）ES(1)（3）P（a）T(2)I（4）（$x）P（x）EG(3)（5）R（a）T(2)I（6）（$x）R（x）EG(5)（7）（$x）P（x）∧（$x）R（x）T(5)(6)I11．若無向圖G中只有兩個奇數(shù)度結(jié)點，則這兩個結(jié)點一定是連通的．證明：用反證法．設(shè)G中的兩個奇數(shù)度