【正文】 (xi)=0,下面來估計截斷誤差：定理1：設函數y=f(x)的n階導數y(n)=f(n)(x)在上連續(xù)，y(n+1)=f(n+1)(x)在(a,b)上存在。即:pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),從而pn(x)是一個次數不超過n的多項式,且滿足pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).例3求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子:(xx0)…(xxi1)(xxi+1)…(xxn)因其已經是n次多項式，故而僅相差一個常數因子。過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函數l0(x),l1(x),…,ln(X)每個插值基本多項式li(x)滿足：(1)li(x)是n次多項式。解：設x0=10,x1=15,x2=20,則:故:所以7利用三個點進行拋物插值得到lg12的值,與精確值lg12=,具有3位有效數字,精度提高了。由前述,拉格朗日型二次插值多項式:p2(x)=yk1lk1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),p2(x)是三個二次插值多項式的線性組合,因而其是次數不超過二次的多項式,且滿足:p2(xi)=yi,(i=k1,k,k+1)。有三個插值結點xk1,xk,xk+1構造三個插值基本多項式，要求滿足：(1)基本多項式為二次多項式。一次插值多項式是插值基函數的線性組合,相應的組合系數是該點的函數值yk、yk+:已知lg10=1,lg20=,利用插值一次多項式求lg12的近似值。該基函數的特點如下表：從而p1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。第一篇：離散數學證明題離散數學證明題離散數學證明題:鏈為分配格證明設a,b均是鏈A的元素，因為鏈中任意兩個元素均可比較，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，則a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，則a,b的最大下界是b,最小上界是a，故鏈一定是格,下面證明分配律成立即可,對A中任意元素a,b,c分下面兩種情況討論:⑴b≤a或c≤a⑵a≤b且a≤c如果是第⑴種情況,則a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)如果是第⑵種情況,則a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)無論那種情況分配律均成立,(一次插值)已知函數f(x)在區(qū)間的端點上的函數值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一個一次函數y=p1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其幾何意義是已知平面上兩點(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一條直線過該已知兩點。由直線的點斜式公式可知：把此式按照yk和yk+1寫成兩項:記并稱它們?yōu)橐淮尾逯祷瘮?。其?插值基函數與yk、yk+1無關，而由插值結點xk、xk+1所決定。解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=,設x0=10,x1=20,y0=1,y1=則插值基函數為：于是,拉格朗日型一次插值多項式為:故:即lg12由lg10和lg20兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數字(精確值lg12=).已知函數y=f(x)在點xk1,xk,xk+1上的函數值yk1=f(xk1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一個次數不超過二次的多項式p2(x),使其滿足,p2(xk1)=yk1,p2(xk)=yk,p2(xk+1)=yk+:已知平面上的三個點(xk1,yk1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一個二次拋物線,使得該拋物線經過這三點。(2)它們的函數值滿足下表：因為lk1(xk)=0,lk1(xk+1)=0,故有因子(xxk)(xxk+1),而其已經是一個二次多項式,僅相差一個常數倍,可設lk1(x)=a(xxk)(xxk+1),又因為lk1(xk1)=1==a(xk1xk)(xk1xk+1)=1得從而同理得基本二次多項式見右上圖(點擊按鈕“顯示Li”)。例2已知：xi101520yi=利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。三、拉格朗日型n次插值多項式已知函數y=f(x)在n+1個不同的點x0,x1,…,x2上的函數值分別為y0,y1,…,yn,求一個次數不超過n的多項式pn(x),使其滿足:pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。(2)li(xi)=1,而在其它n個li(xk)=0,(k≠i)。令:li(x)=a(xx0)…(xxi1)(xxi+1)…(xxn)由li(xi)=1,可以定出a,進而得到：(x)pn(x)是n+1個n次插值基本多項式l0(x),l1(x),…,ln(X)的線性組合,相應的組合系數是y0,y1,…,yn。解用4次插值多項式對5個點插值。插值結點為:a≤x0pn(x)是n次拉格朗日插值多項式。設Rn(x)=K(x)(xx0)(xx1)…(xxn)=K(x)ωn+1(x)其中K(x)是待定系數。作函數H(t)=f(t)pn(t)K(x)(tx0)(tx1)…(txn)則H(xk)=0，(k=0,1,2,…,n),且H(x)=f(x)pn(x)Rn(x)=0,所以，H(t)在上有n+2個零點，反復使用羅爾中值定理:存在ξ∈(a,b),使。估計誤差：f(x)=lgx，當x∈時,2第二篇：離散數學證明題證明題：（1）┐(P171。(P∨Q)∧┐(P∧Q)（2）(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)219。Q)219。┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))219。(P∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨Q)∧(┐P∨┐Q)219。(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)219。(P174。216。S)，(Q174。216。（2）前提：Q →P, Q 171。 M , M∧R前提：結論：P∧Q（3）前提：P →(Q