【正文】 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 平 均 4 這里s sss mjjj ??? ?21充當?shù)?j 個子集的權，并且等于子集（即 A 值為 ja ）中的樣本個數(shù)除以 S 中的樣本總數(shù) 根據(jù)上面給出的期望信息計算公式，對于給定的子集 jS ，其期望信息由下式計算： ? ? ????mi ijijmjjj ppsssI 1 221 lo g, ?， 其中jijij ssp ? 是 jS 中樣本屬于類 iC 的概率。對于在 A 上分支將獲得的信息增益可以由下面的公式得到： ? ? ? ? ? ?AEsssIA m ?? ?21 ,G a in 。由上式可以看出，熵值越小時，其信息增益越大，表明相應的信息量越有效。 實例應用 利用下述公式將原始數(shù)據(jù) (見表一 數(shù)據(jù) )化為 0,1 兩數(shù)值（計算結果見表 二 ） njmimaaaamaaaabmjjjijmjjjijij ????2,1。 5 表 二 城市編號 竣工面積 人口增長率 工薪收入 儲蓄余額 造價 人均 每年住房支出 開發(fā)商投資 房價 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 1 1 1 1 1 1 5 1 0 0 0 1 1 1 0 6 1 0 1 1 1 1 1 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 1 0 0 12 0 1 0 0 0 0 0 0 13 0 1 1 0 0 1 0 0 最終是根據(jù)房價來求其他因子的信息增益 ，所以統(tǒng)計房價中 0,1 的樣本數(shù)為： 1s =1 有 4個樣本， 2s =0 有 9 個樣本。觀察竣工面積的每個樣本值的分布，對于竣工面積 =1，有 1 個房價 =1,1 個房價 =0；對于竣工面積 =0，有 3 個房價 =1，有 8 個房價 =0（見表 三 ）。1,1 22122111 ???? ssss 房價 =1 房價 =0 竣工面積 =1 1 1 竣工面積 =0 3 8 表 三 則 ? ? ???? 21lo g2121lo g21,222111 ssI1 ? ? ???? 118lo g118113lo g113,222212 ssI 因此該屬性對應的熵為： ? ? ? ? ? ? ???22122111 ,1311,132 ssIssIE 竣工面積 信息增益為： ? ? ? ? ? ? ??? 竣工面積竣工面積 EssIG ai n 21 , 6 同理可得： 各個屬性等于 1 或等于 0 時，房價等于 1 和房價等于 0時的樣本數(shù)如表 四 所示： 房價 =1 房價 =0 人口增長率 =1 0 5 人口增長率 =0 4 4 房價 =1 房價 =0 工薪收入 =1 4 1 工薪收入 =0 0 8 房價 =1 房價 =0 儲蓄余額 =1 4 0 儲蓄余額 =0 0 9 房價 =1 房價 =0 造價 =1 4 1 造價 =0 0 8 房價 =1 房價 =0 年人均住房支出 =1 4 3 年人均住房支出 =0 0 6 房價 =1 房價 =0 開發(fā)商投資 =1 3 3 開發(fā)商投資 =0 1 6 表 四 同理， 計算各個屬性的信息增益為： ? ? ? ? ? ? ??? 人口增長率人口增長率 EssIG a i n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 工薪收入工薪收入 EssIG ai n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 儲蓄余額儲蓄余額 EssIG a in 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 造價造價 EssIG a in 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 年人均住房支出年人均住房支出 EssIG a i n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 開發(fā)商投資開發(fā)商投資 EssIG a in 21 , 由以上數(shù)據(jù)比較可得： Gain(儲蓄余額 )Gain(工薪收入 )=Gain(造價 )Gain(年人均住房支出 )Gain(人口增長率 )Gain(開發(fā)商投 資 )Gain(竣工面積 ) 因此 ， 選擇其半數(shù)以上的屬性作為預測屬性，即為影響房價的因子為儲蓄余額、工薪收入、造價以及年人均住房支出。 9 一般地，當影響結果 Y 的因素不只是一個時，要通過作圖來確定它們的關系是困難的，可以假設它們之間有線性相關關系 ， 即得到我們的 模型 ： Y= 1a A+ 2a B+ 3a C+ 4a D+ t? 六、模型的求解 模型的求解過程： 模型 為 Y= 1a A+ 2a B+ 3a C+ 4a D+ t? 上式 表示因變量 Y 對自變量 A,B,C,D 的相依性，其中 1a , 2a , 3a , 4a 為 未知 參數(shù) ， 模型特點如下： A、 B、 C、 D 為一般變量， t? 為隨機變量； Y 為一般變量和隨機變量的線形組合， Y 序列的值既取決于 A,B,C， D 序列，又受制于 t? 。 S(a)=??nt12t? =??nt1(Δ Y t 1a *Δ A t 2a *Δ B t 3a *Δ C t 4a *Δ Dt)2 由于 S(a)是 1a , 2a , 3a , 4a 的 一個非負二次型，故其極小值必存在， 根據(jù)微積分的理論可知 ，只要求 S(a)分別對 1a , 2a , 3a , 4a 的一階偏導數(shù) aaS?? )( =0， 先對 1a 求一階偏導 即可得到 ： 1)(aaS?? =??nt12*(Δ tY 1a *Δ tA 2a *Δ tB 3a *Δ tC 4a *Δ tD )*(Δ tA )=0 化簡上式可得： ??nt1 Δ tY *Δ tA + 1a *Δ tA *Δ tA + 2a *Δ tB *Δ tA + 3a *Δ tC *Δ tA + 4a *Δ tD *Δ tA =0 用 181。aa 表示 Δ A 序列的 協(xié) 方差， 181。ca 表示序列 Δ C和 Δ A 的協(xié)方差 ， 181。ya+ 1a *181。ba+ 3a *181。da=0式 1 同理2)(aaS?? ＝ 0 推出 ： 181。ab+ 2a *181。cb+ 4a *181。yc+ 1a *181。bc+ 3a *181。dc=0式 3 同理4)(aaS?? ＝ 0 推出 ： 181。ad+ 2a *181。cd+ 4a *181。 經(jīng)計算得各個協(xié)方差的值為： (利用 MATLAB 軟件 ， 協(xié)方差 計算 程序 參見附錄 3) 181。ba=181。ca=181。da=181。bb= 910? 181。bc= 810? 181。bd= 710? 181。dc=181。dd= 510? 181。yb= 910? 181。yd= 610? 通過矩陣運算得到 1a , 2a , 3a , 4a 的值為： (利用 MATLAB 軟件 ，計算 程序 參見附錄 4) 1a = 2a = 3a = 4a = 把系數(shù) 1a , 2a , 3a , 4a 代回原模型得： =*()+*()*()+ *()+ t? 利用表三中的 商品房平均銷售價 、 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價 、 人均 全年住房支出 反推 t? 的值，即： =[*()+*()*()+ *()] t? 13 得到的 13 個 t? 值為 （利用 MATLAB 軟件，計算程序參見附錄 5） ： 表 七 殘差數(shù)據(jù) 城市序號 殘差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平均值 殘差 曲線 見圖 5（利用 MATLAB 軟件，圖像畫法程序參見附錄 5） ： 殘差曲線 6 0 0 4 0 0 2 0 002004006001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13城市序號殘差 圖 5 14 由于 t? 的平均值為 ,相對 于 Y 值來說非常小，可以近似看成是 0，從而予以忽略 不計。 利用表一中的各個城市的 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價、 人均 全年住房支出 ，來反推各個城市的 商品房平均銷售價 并且與已知的 商品房平均銷售價和 作對比，從而來評價該模型的實用性。 實際房價與計算房價對比圖