20xx年甘肅省高考數(shù)學(xué)一診試卷理科word版含解析-在線瀏覽
2025-01-31 10:45本頁(yè)面
【正文】 ＞ 0．即 f（ x）在（﹣ ∞ ， x1），（ x2， +∞ ）單調(diào)遞增，在（ x1，x2）上單調(diào)遞減， ∴ h（ x） min=h（ x2），即 f（ n） min=min{f（ 2）， f（ 3） }， f（ 2） = ＞ f（ 3） = ﹣ ． ∴ f（ n） min=f（ 3） =﹣ ． 故答案為：﹣ ． 三、解答題 17．在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對(duì)邊，且 b， c 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣ a2+b2+c2=0 的兩根． （ 1）求角 A 的大小； （ 2）已知 a= ，設(shè) B=θ， △ ABC 的面積為 y，求 y=f（ θ）的最大值． 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理． 【分析】 （ 1）由已知化簡(jiǎn)可得： b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求 cosA= ，結(jié)合范圍 A∈ （ 0， π），可求 A 的值． （ 2）由已知及正弦定理可得 b=2sinθ， c=2sin（ ﹣ θ），利用，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求 y= sin（ 2θ﹣ ） + ，由 0＜ θ＜ ，可得范圍﹣ ＜ 2θ﹣ ＜ ，利用正弦函數(shù)的圖 象可求最大值． 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1）在 △ ABC 中，由題意可得： bc=﹣ a2+b2+c2，可得： b2+c2=a2+bc， ∴ cosA= = ， 又 ∵ A∈ （ 0， π）， ∴ A= ． …6 分 （ 2）由 a= ， A= 及正弦定理可得： ， ∴ b=2sinB=2sinθ， c=2sinC=2sin（ ﹣ B） =2sin（ ﹣ θ）， ∴ y= bcsinA= sinθsin（ ﹣ θ） = sinθ（ cosθ+ sinθ） = sin2θ﹣cos2θ+ = sin（ 2θ﹣ ） + ， 由于 0＜ θ＜ ，可得：﹣ ＜ 2θ﹣ ＜ ， ∴ 當(dāng) 2θ﹣ = ，即 θ= 時(shí)， ymax= ． …12 分 18．持續(xù)性的霧霾天氣嚴(yán)重威脅著人們的身體健康，汽車排放的尾氣是造成霧霾天氣的重要因素之一．為了貫徹落實(shí)國(guó)務(wù)院關(guān)于培育戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)和加強(qiáng)節(jié)能減排工作的部署和要求，中央財(cái)政安排專項(xiàng)資金支持開(kāi)展私人購(gòu)買(mǎi)新能源汽車補(bǔ)貼試點(diǎn)． 2017 年國(guó)家又出臺(tái)了調(diào)整新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼的新政策，其中新能源乘用車推廣應(yīng)用補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如表： 某課題組從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)選取了 20 輛純電動(dòng)乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程 R（單詞充電后能行駛的最大里程， R∈ [100， 300]）進(jìn)行如下分組：第 1 組 [100， 150），第 2 組 [150， 200），第 3 組 [200， 250），第 4 組 [250， 300]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第 1 組與第 3 組的頻率之比為 1： 4，第 2 組的頻數(shù)為 7． 純電動(dòng)續(xù)駛里程 R（公里） 100≤ R＜ 150 150≤ R＜ 250 R＞ 250 補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)（萬(wàn)元 /輛） 2 44 （ 1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖統(tǒng)計(jì)這 20 輛純電動(dòng)乘用車的平均續(xù)駛里程； （ 2）若以頻率作為概率，設(shè) ξ 為購(gòu)買(mǎi)一輛純電動(dòng)乘用車獲得的補(bǔ)貼，求 ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（ ξ）． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ 1）由表格分別求出第一組、第二組、第三組、第四組的頻率，由此利用頻率分布直方圖能估計(jì)這 20 輛純電動(dòng)乘用車的平均續(xù)駛里程． （ 2）由題意知 ξ 的可能取值為 2， ， ，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ 1）由表格知第一組的頻率為 ，第二組的頻率為 ， 第三組的頻率為 ，第四組的頻率為 ， ∴ 頻率分布直方圖估計(jì)這 20 輛純電動(dòng)乘用車的平均續(xù)駛里程為： 125 +175 +225 +275 =205（公里）． （ 2）由題意知 ξ 的可能取值為 2， ， ， P（ ξ=2） =， P（ ξ=） =， P（ ξ=） =， ∴ ξ 的分布列為： ξ 2 P Eξ=2 + + =． 19．如圖，四邊形 PDCE 為矩形，四邊形 ABCD 為梯形，平面 PDCE⊥ 平面 ABCD，∠ BAD=∠ ADC=90176。 以 D 為原點(diǎn)， DA， DC， DP 所在直線分為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 P（ 0， 0， a）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， ， 平面 PAD 的法向量 =（ 0， 1， 0）， 設(shè)平面 PBC 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=a，得 =（ a， a， 2）， ∵ 平面 PAD 與 PBC 所成的銳二面角的大小為 ， ∴ cos = = = ， 解得 a= ． ∴ 線段 PD 的長(zhǎng)度為 ． 20．已知橢圓 E： x2+3y2=m2（ m＞ 0）的左頂點(diǎn)是 A，左焦點(diǎn)為 F，上頂點(diǎn)為 B． （ 1）當(dāng) △ AFB 的面積為 時(shí)，求 m的值； （ 2）若直線 l 交橢圓 E 于 M， N 兩點(diǎn)（不同于 A），以線段 MN 為直徑的圓過(guò) A點(diǎn)，試探究直線 l 是否過(guò)定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，則三角形 AFB 的面積 S= b （ b﹣ c），代入即 可求得 m的值； （ 2）設(shè)直線 AM 的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得 M 和 N 的方程，當(dāng) l 的斜率不存在時(shí)，顯然可得 k=1，求得圓心為 P（﹣ ， 0），當(dāng) l 的斜率存在時(shí)，由利用兩點(diǎn)的斜率公式求得 kPM=kPN，直線 l 是否過(guò)定點(diǎn)． 【解答】 解：（ 1）由橢圓方程： ，則 a=m， b= ， c= ， 由三角形 AFB 的面積 S， S= b （ b﹣ c） = ， 則 （ m﹣ ） ﹣ ，解得： m= ， ∴ m的值為 ； （ 2）由線段 MN 過(guò)直徑的圓過(guò) A 點(diǎn)，則 MA⊥ NA， 設(shè)直線 AM 的斜率為 k（ k＞ 0），則直線 AN 的斜率為﹣ ， AM 為 y=k（ x+m）， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 ， 整理得：（ 3k2+1） x2+6k2mx+（ 3k2﹣ 1） m2=0， 則 x1（﹣ m） = ，則 x1= ，故 y1=k（ x1+m） = ， 則 M（ ， ）， 直線 AN 的方程為 y=﹣ （ x+m），同理可得： N（ ，﹣ ）， 當(dāng) l 的斜率不存在時(shí)，顯然可得 k=1，此時(shí) M（﹣ ， ）， N（﹣ ，﹣ ）， 則
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