河南省平頂山市20xx年高考數(shù)學一模試卷理科word版含解析-在線瀏覽
2025-02-06 23:26本頁面
【正文】 分）（ 2017?平頂山一模）已知 Sn 為數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 2Sn=3an﹣ 2（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）求 an 和 Sn； （ Ⅱ ）若 bn=log3（ Sn+1），求數(shù)列 {b2n}的前 n 項和 Tn． 【考點】 數(shù)列的求和． 【分析】 （ Ⅰ ）由 2Sn=3an﹣ 2 可求得 a1=2；當 n≥ 2 時， an=3an﹣ 1，從而可知數(shù)列 {an}是首項為 2，公比為 3 的等比數(shù)列，繼而可得 an 和 Sn； （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 Sn=3n﹣ 1，從而可得 bn=n， b2n=2n，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列 {b2n}的前 n 項和 Tn． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 2Sn=3an﹣ 2， ∴ n=1 時， 2S1=3a1﹣ 2，解得 a1=2； 當 n≥ 2 時， 2Sn﹣ 1=3an﹣ 1﹣ 2， ∴ 2Sn﹣ 2Sn﹣ 1=3an﹣ 3an﹣ 1， ∴ 2an=3an﹣ 3an﹣ 1， ∴ an=3an﹣ 1， ∴ 數(shù)列 {an}是首項為 2，公比為 3 的等比數(shù)列， ∴ an=2?3n﹣ 1， Sn= =3n﹣ 1， （ Ⅱ ） ∵ an=2?3n﹣ 1， Sn=3n﹣ 1， ∴ bn=log3（ Sn+1） =log33n=n， ∴ b2n=2n， ∴ Tn=2+4+6+… +2n= =n2+n． 【點評】 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的判定與通項公式、求和公式的應(yīng)用，突出考查等差數(shù)列的求和，屬于中檔題． 18．（ 12 分）（ 2017?平頂山一模）某校高一共錄取新生 1000 名，為了解學生視力情況，校醫(yī)隨機抽取了 100 名學生進行視力測試，并得到如下頻率分布直方圖． （ Ⅰ ）若視力在 ～ 的學生有 24 人，試估計高一新生視力在 以上的人數(shù)； 1～ 50名 951～ 1000名 近視 41 32 不近視 9 18 （ Ⅱ ）校醫(yī)發(fā)現(xiàn)學習成績較高的學生近視率較高，又在抽取的 100 名學生中，對成績在前 50 名的學生和其他學生分別進行統(tǒng)計，得到如右數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，校醫(yī)能否有超過 95%的把握認為近視與學習成績有關(guān)？ （ Ⅲ ）用分層抽樣的方法從（ Ⅱ ）中 27 名不近視的學生中抽出 6 人，再從這 6人中任抽 2 人，其中抽到成績在前 50 名的學生人數(shù)為 ξ，求 ξ 的分布列和數(shù)學期望． 附：K2= P（ K2≥ k） k 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列． 【分析】 （ Ⅰ ）利用頻率分布表，求出前四組學生的視力在 以下的人數(shù)，然后求解視力在 以上的人數(shù)． （ Ⅱ ）求出 k2，即可說明校醫(yī)有超過 95%的把握認為近視與成績有關(guān)． （ Ⅲ ）依題意， 6 人中年級名次在 1～ 50 名和 951～ 1000 名的分別有 2 人和 4 人，所以 ξ 可取 0， 1， 2．求出概率，頂點分布列，然后求解期望即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由圖可知，前四組學生的視力在 以下，第一組有 100=3 人，第二組有 100=7 人，第 三組 100=27 人，第四組有 24 人． … （ 2 分） 所以視力在 以上的人數(shù)為 人． … （ Ⅱ ） ，因此校醫(yī)有超過 95%的把握認為近視與成績有關(guān)． … （ 8 分） （ Ⅲ ）依題意， 6 人中年級名次在 1～ 50 名和 951～ 1000 名的分別有 2 人和 4 人，所以 ξ 可取 0， 1， 2. ， ， ， ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 P … （ 10 分） ξ 的數(shù)學期望 ． … （ 12 分） 【點評】 本題考查頻率分布直方圖以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力． 19．（ 12 分）（ 2017?平頂山一模）如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中， CB⊥ 平面 PAB，AD∥ BC，且 PA=PB=AB=BC=2AD=2． （ Ⅰ ）求證：平面 DPC⊥ 平面 BPC； （ Ⅱ ）求二面角 C﹣ PD﹣ B 的余弦值． 【考點】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）分別取 PC， PB 的中點 E， F，連結(jié) DE， EF， AF，證明 AF⊥ EF，AF⊥ PB．推出 AF⊥ 平面 BPC，然后證明 DE⊥ 平面 BPC，即可證明平面 DPC⊥ 平面 BPC． … ． （ Ⅱ ）解法 1：連結(jié) BE，說明 BE⊥ CP，推出 BE⊥ 平面 DPC，過 E 作 EM⊥ PD，垂足 為 M，連結(jié) MB，說明 ∠ BME 為二面角 C﹣ PD﹣ B 的平面角．在 △ PDE 中，求解即可． 解法 2：以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，求出平面PDC 和面 PBC 的法向量，由空間向量的數(shù)量積求解二面角 C﹣ PD﹣ B 的余弦值即可． 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ Ⅰ ）證明：如圖，分別取 PC， PB 的中點 E， F， 連結(jié) DE， EF， AF，由題意知，四邊形 ADEF 為矩形， ∴ AF⊥ EF． … （ 2 分） 又 ∵△ PAB 為等邊三角形， ∴ AF⊥ PB．又 ∵ EF∩ PB=F， ∴ AF⊥ 平面 BPC． … 又 DE∥ AF． ∴ DE⊥ 平面 BPC，又 DE? 平面 DPC， ∴ 平面 DPC⊥ 平面 BPC． … （ Ⅱ ）解法 1：連結(jié) BE，則 BE⊥ CP，由（ Ⅰ ）知， BE⊥ 平面 DPC，過 E 作 EM⊥ PD，垂足為 M，連結(jié) MB，則 ∠ BME 為二面角 C﹣ PD﹣ B 的平面角． … （ 7 分） 由題意知， DP=DC= ， PC= ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在 △ PDE 中， ． … （ 10 分） 又 ， ∴ ， ∴ ． … （ 12 分） （ Ⅱ ）解法 2：如圖，以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系，則， A（ 0， 0，0）， B（ 0， 2， 0）， ， C（ 0， 2， 2）， D（ 0， 0， 1）． ， ， ． … （ 8 分） 設(shè)平 面 PDC 和面 PBC 的法向量分別為 ， ， 由 ，得 ，令 y=﹣ 1 得 ； 由 ，得 ，令 a=1 得 ． … （ 10 分） ∴ 二面角 C﹣ PD﹣ B 的余弦值為 ． … （ 12 分） 【點評】 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力． 20．（ 12 分）（ 2017?平頂山一模）如圖，點 P 為圓 E：（ x﹣ 1） 2+y2=r2（ r＞ 1）與 x 軸的左交點，過點 P 作弦 PQ，使 PQ 與 y 軸交于 PQ 的中點 D． （ Ⅰ ）當 r 在（ 1， +∞ ）內(nèi)變化時，求點 Q 的軌跡方程； （ Ⅱ ）已知點 A（﹣ 1， 1），設(shè)直 線 AQ， EQ 分別與（ Ⅰ ）中的軌跡交于另一點 Q1， Q2，求證：當 Q 在（ Ⅰ ）中的軌跡上移動時，只要 Q1， Q2 都存在，且Q1， Q2不重合，則直線 Q1Q2恒過定點，并求該定點坐標． 【考點】 直線與拋物線
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