20xx年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析-在線瀏覽
2025-01-18 11:01本頁面
【正文】 =（ 2 ﹣ ） ? =2 ﹣ ? =2﹣ 1 1 1 cos = ． 故答案為： ． 15．如圖，直角梯形 ABCD 中， AD⊥ DC， AD∥ BC， BC=2CD=2AD=2，若將直角梯形繞 BC 邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為 ． 【考點】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）． 【分析】 由圓錐及圓柱的幾何特征可得，該幾 何體由兩個底面相待的圓錐和圓柱組合而成，其中圓柱和圓錐的高均為 1，代入圓柱和圓錐的體積公式，即可得到答案． 【解答】 解：由圖中數(shù)據(jù)可得： ， S 圓柱側(cè) =π 21=2π， ． 所以幾何體的表面積為 ． 故答案為： ． 16．已知 x2+y2=4，在這兩個實數(shù) x， y 之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為 ． 【考點】 等差數(shù)列的通項公式． 【分析】 設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個數(shù)分別為 x， a ， b ， c ， y，推導(dǎo)出．從而等差數(shù)列后三項和為 ． 法一：設(shè) x=2cosα， y=2sinα，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出這個等差數(shù)列后三項和的最大值． 法二：令 z=x+3y，則 x+3y﹣ z=0，當(dāng)直線 x+3y﹣ z=0 與圓 x2+y2=4 相切時 z 將有最大值，由此能求出這個等差數(shù)列后三項和的最大值． 【解答】 解：設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個數(shù)分別為 x， a， b， c， y， 則 x+y=a+c=2b， ∴ ． 則等差數(shù)列后三項和為 = ． （另解：由等差數(shù)列的性質(zhì)有 x+y=a+c=2b，所以 ．） 方法一：因為 x2+y2=4，設(shè) x=2cosα， y=2sinα， 所以 ． 方法二：令 z=x+3y，則 x+3y﹣ z=0， 所以當(dāng)直線 x+3y﹣ z=0 與圓 x2+y2=4 相切時 z 將有最大值， 此時 ， 即 ， ∴ ． 故答案為： ． 三．解答題：本大題共 5小題，共 70分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，且 a1=1， S3+S4=S5． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ Ⅱ ）令 bn=（﹣ 1） n﹣ 1anan+1，求數(shù)列 {bn}的前 2n 項和 T2n． 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，根據(jù)題意、等差數(shù) 列的性質(zhì)以及通項公式列出方程，求出公差 d，由等差數(shù)列的通項公式求出 an； （ Ⅱ ）由（ I）化簡 bn=（﹣ 1） n﹣ 1anan+1，利用并項求和法和等差數(shù)列的前 n 項和公式求出數(shù)列 {bn}的前 2n 項和 T2n． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d， 由 S3+S4=S5可得 a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即 3a2=a5，則 3（ 1+d） =1+4d，解得 d=2﹣﹣﹣﹣﹣ 所以 an=1+（ n﹣ 1） 2=2n﹣ 1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）可得： ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =4[12﹣ 22+32﹣ 42+… +（ 2n﹣ 1） 2﹣（ 2n） 2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =﹣ 4（ 1+2+3+4+… +2n﹣ 1+2n） = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 18．某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過 300）： 空氣質(zhì)量指數(shù) （ 0，50] （ 50，100] （ 100，150] （ 150，200] （ 200，250] （ 250，300] 空氣質(zhì)量等級 1 級優(yōu) 2 級良 3 級輕度污染 4 級中度污染 5 級重度污染 6 級嚴(yán)重污染 該社團將該校區(qū)在 2020 年 100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計為概率． （ Ⅰ ）請估算 2017 年（以 365 天計算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)（未滿一天按一天計算）； （ Ⅱ ）該校 2017 年 6 月 9 日將作為高考考場，若這三天中某天出現(xiàn) 5 級重度污染，需要凈化空氣費用 10000 元，出現(xiàn) 6 級嚴(yán)重污染，需要凈化空氣費用20200 元，記這三天凈化空氣總費用為 X 元，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其 分布列． 【分析】 （ I）利用直 方圖的性質(zhì)即可得出． （ Ⅱ ）由題可知， X 的所有可能取值為： 0， 10000， 20200， 30000， 40000， 50000，60000，利用二項分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由直方圖可估算 2017 年（以 365 天計算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為： （ +） 365= 365=≈ 110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ）由題可知， X 的所有可能取值為： 0， 10000， 20200， 30000， 40000， 50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 則： ， ，，， ． ∴ X 的分布列為 X 0 10000 20200 30000 40000 50000 60000 P ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19．如圖，四棱錐 P﹣ ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，底面 ABCD 為等腰梯形， AB∥ CD， AD=DC=BC=2， AB=4， △ PAD 為正三角形． （ Ⅰ ）求證： BD⊥ 平面 PAD； （ Ⅱ ）設(shè) AD 的中點為 E，求平面 PEB 與平面 PDC 所成二面角的平面角的余弦值． 【考點】 二面 角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）在等腰梯形 ABCD 中，過點 D 作 DE⊥ AB 于點 E，推導(dǎo)出 AD⊥BD，由此能證明 BD⊥ 平面 PAD． （ Ⅱ ）以 D 為坐標(biāo)原點， DA 所在直線為 x 軸， DB 所在直線為 y 軸，過點 D 平行于 PE 所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出平面 PEB 與平面 PDC 所成二面角的余弦值． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）在等腰梯形 ABCD 中，過點 D 作 DE⊥ AB 于點 E， 如圖所示：有 ∴ 在 △ ABD 中，有 AB2=AD2+BD2，即 AD⊥ BD 又因為平面 PAD⊥ 平面 ABCD 且交線為 AD， ∴ BD⊥ 平面 PAD．﹣﹣﹣﹣﹣ 解：（ Ⅱ ） 由平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 △ PAD 為正三角形， E 為 AD 的中點， ∴ PE⊥ AD
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