20xx年四川省成都市高考數(shù)學(xué)一診試卷文科word版含解析-在線瀏覽
2025-01-19 02:21本頁面
【正文】 等；分?jǐn)?shù)在 [70， 85）內(nèi)，記為 B 等；分?jǐn)?shù)在 [60， 70）內(nèi)，記為 C 等； 60 分以下，記為 D 等．同時認(rèn)定 A，B， C 為合格， D 為不合格．已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在 [50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績，分別抽取 50 名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照 [50， 60）， [60， 70）， [70， 80）， [80， 90）， [90， 100]的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖 1 所示，乙校 的樣本中等級為 C， D 的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖 2 所示． （ I）求圖中 x 的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率； （ Ⅱ ）在乙校的樣本中，從成績等級為 C， D 的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求抽出的兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績等級為 D 的概率． 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖． 【分析】 （ Ⅰ ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為 1，能求出 x=，從而 得到甲學(xué)校的合格率，由此能求出結(jié)果． （ Ⅱ ）由題意，將乙校樣本中成績等級為 C， D 的 6 名學(xué)生記為 C1， C2， C3，C4， D1， D2，由此利用列舉法能求出隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生，抽出的兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績等級為 D 的概率． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意知 10x+ 10+ 10+ 10+ 10=1， 解得 x=， ∴ 甲學(xué)校的合格率為 1﹣ 10 =， 而乙學(xué)校的合格率為： 1﹣ =， 故甲乙兩校的合格率相同． （ Ⅱ ）由題意，將乙校樣本中成績等級為 C， D 的 6 名學(xué)生記為 C1， C2， C3，C4， D1， D2， 則隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生的基本事件有： {C1， C2}， {C1， C3}， {C1， C4}， {C1， D1}， {C1， D2}， {C2， C3}， {C2， C4}，{C2， D1}， {C2， D2}， {C3， C4}， {C3， D1}， {C3， D2}， {C4， D1}， {C4， D2}， {D1， D2}，共 15 個， 其中 “抽出的兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績等級為 D”包含的基本事件有 9 個， ∴ 抽出的兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績等級為 D 的概率 p= ． 18．在等比數(shù)列 {an}中，已知 a4=8a1，且 a1， a2+1， a3成等差數(shù)列． （ I）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）求數(shù)列 {|an﹣ 4|}的前 n 項(xiàng)和 Sn． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ I）設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q， a4=8a1，可得 =8a1，解得 q．又 a1，a2+1， a3成等差數(shù)列，可得 2（ a2+1） =a1+a3，當(dāng)然解得 a1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出． （ II） n=1 時， a1﹣ 4=﹣ 2＜ 0，可得 S1=2．當(dāng) n≥ 2 時， an﹣ 4≥ 0．?dāng)?shù)列 {|an﹣ 4|}的前 n 項(xiàng)和 Sn=2+（ a2﹣ 4） +（ a3﹣ 4） +… +（ an﹣ 4），再利用等比數(shù)列的求和公 式即可得出． 【解答】 解：（ I）設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q， ∵ a4=8a1， ∴ =8a1， a1≠ 0，解得 q=2． 又 a1， a2+1， a3成等差數(shù)列， ∴ 2（ a2+1） =a1+a3， ∴ 2（ 2a1+1） =a1（ 1+22），解得a1=2． ∴ an=2n． （ II） n=1 時， a1﹣ 4=﹣ 2＜ 0， ∴ S1=2． 當(dāng) n≥ 2 時， an﹣ 4≥ 0． ∴ 數(shù)列 {|an﹣ 4|}的前 n 項(xiàng)和 Sn=2+（ a2﹣ 4） +（ a3﹣ 4） +… +（ an﹣ 4） =2+22+23+… +2n﹣ 4（ n﹣ 1） = ﹣ 4（ n﹣ 1） =2n+1﹣ 4n+2． ∴ Sn= ． 19．如圖 l，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E， F 分別是 AB， BC 的中點(diǎn)， BD 與 EF 交于點(diǎn) H，點(diǎn) G， R 分別在線段 DH， HB 上，且 = ．將 △ AED， △ CFD， △BEF 分別沿 DE， DF， EF 折起，使點(diǎn) A， B， C 重合于點(diǎn) P，如圖 2 所示， （ I）求證： GR⊥ 平面 PEF； （ Ⅱ ）若正方形 ABCD 的邊長為 4，求三棱錐 P﹣ DEF 的內(nèi)切球的半徑． 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積；直線與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）推導(dǎo)出 PD⊥ 平面 PEF， RG∥ PD，由此能證明 GR⊥ 平面 PEF． （ Ⅱ ）設(shè)三棱錐 P ﹣ DEF 的 內(nèi) 切 球 半 徑 為 r ， 由 三 棱 錐 的 體 積V= ，能求出棱錐 P﹣ DEF 的內(nèi)切球的半徑． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）在正方形 ABCD 中， ∠ A、 ∠ B、 ∠ C 均為直角， ∴ 在三棱錐 P﹣ DEF 中， PE， PF， PD 三條線段兩兩垂直， ∴ PD⊥ 平面 PEF， ∵ = ，即 ， ∴ 在 △ PDH 中， RG∥ PD， ∴ GR⊥ 平面 PEF． 解：（ Ⅱ ）正方形 ABCD 邊長為 4， 由題意 PE=PF=2， PD=4， EF=2 ， DF=2 ， ∴ S△ PDF=2， S△ DEF=S△ DPE=4， =6， 設(shè)三棱錐 P﹣ DEF 的內(nèi)切球半徑為 r， 則三棱錐的體積： = ， 解得 r= ， ∴ 三棱錐 P﹣ DEF 的內(nèi)切球的半徑為 ． 20．已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 F，設(shè)直線 l： x=5 與 x 軸的 交點(diǎn)為 E，過點(diǎn) F 且斜率為 k 的直線 l1與橢圓交于 A， B 兩點(diǎn)， M 為線段 EF 的中點(diǎn)． （ I）若直線 l1的傾斜角為 ， |AB|的值； （ Ⅱ ）設(shè)直線 AM 交直線 l 于點(diǎn) N，證明：直線 BN⊥ l． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ I）設(shè)直線 l 的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式即可求得 |AB|的值； （ Ⅱ ）設(shè)直線 l1的方程為 y=k（ x﹣ 1），代入橢圓方程，由 A， M， N 三點(diǎn)共線， 求得 N 點(diǎn)坐標(biāo)， y0﹣ y2= ﹣ y2= ﹣ k（ x2﹣ 1），代入，利用韋達(dá)定理即可求得 y0=y2，則直線 BN⊥ l． 【解答】 解：（ I）由題意可知：橢圓 ， a= ， b=2， c=1，則 F（ 1，0）， E（ 5， 0）， M（ 3， 0）， 由直線 l1的傾斜
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