高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第三章導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用word拓展資料素材-在線瀏覽
2025-01-22 23:16本頁(yè)面
【正文】 x－ cos(x＋ 2kπ) ＝－ 2kπ ， 并且僅當(dāng) k＝ 0，上式才成立，從而 b＝ 0，所以求得符合要求的實(shí)數(shù)對(duì)為 (1， 0)， (a＋ 1)x＋ b2＝ (2k＋ 1)π ， k∈Z 解得 a＝－ 1， b2＝ (2k＋ 1)π ，并代入題設(shè)等式，有 cosx＋ cos[(2k＋ 1)π － x]＝ 2＋ b2，即 2＋ b2＝ 0， 顯然，這樣的 b不存在． 綜上所述，所求實(shí)數(shù)對(duì)的集合為 {(0， 0)， (1， 0)}． 例 14 證明： x， y∈ Rsin(x＋ y)＝ sinxcosy＋ cosxsiny， cos(x＋ y)＝ cosxcosy－sinxsiny 證明 設(shè) f(x， y)＝ sin(x＋ y)－ sinxcosy－ cosxsiny， g(x， y)＝ cos(x＋ y)－ cosxcosy＋ sinxsiny．只須證明 f(x， y)＝ g(x， y)＝ 0即可． 用反證法．假設(shè) f(x， y)≠0 ，由于 f′ x(x， y)＝ cos(x＋ y)－ cosxcosy＋ sinxsiny＝ g(x， y)， f′ y(x， y)＝ cos(x＋ y)＋ sinxsiny－ cosxcosy＝ g(x， y)， 則 df(x， y)＝ f′ x(x， y)dx＋ f′ y(x， y)dy＝ g(x， y)d(x＋ y)， (3) 同理， dg(x， y)＝－ f(x， y)d(x＋ y)． (4) 由 (3)與 (4)，得 或 － g(x， y)dg(x， y)＝ f(x， y)df(x， y)， 從而 f2(x， y)＋ g2(x， y)
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