人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章14第2課時微積分基本定理-在線瀏覽
2025-01-21 01:21本頁面
【正文】 [ 正解 ] 如圖所示，在 [ a ， c ] 上 f ( x ) ≤ 0 ；在 [ c ， b ] 上， f ( x ) ≥ 0 ，所以函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上的陰影部分的面積 S ＝－????acf ( x )d x ＋????cbf ( x )d x ，故選 D. 微積分基本定理????? 微積分基本定理的含義 ? 了解 ?微積分基本定理的應用 ? 掌握 ? 。導數(shù)及其應用 第一章 定積分與微積分基本定理 第 2課時 微積分基本定理 第一章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預習 1 課前自主預習 火箭要把運載物發(fā)送到預定軌道是極其復雜的過程 ， 至少涉及變力做功問題 ， 有諸如 “ 曲邊梯形 ” 面積計算 、 變速直線運動的位移計算等問題 ， 應如何解決 ？ 能否將 “ 曲邊梯形 ” 面積的計算轉(zhuǎn)化為 “ 直邊梯形 ” 面積的計算 ， 能否利用勻速直線運動的知識解決變速直線運動的問題呢 ？ 學習了本節(jié)知識后 ，就可以輕易解決這些問題 . 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式有哪些 ？ 答案： ( 1 ) C ′ ＝ 0 ； ( 2 ) ( xu) ′ ＝ uxu － 1( u ∈ Q ) ； ( 3 ) ( ax) ′ ＝axln a ( a 0 且 a ≠ 1) ； ( 4 ) ( l o g a x ) ′ ＝1x ln a( a 0 且 a ≠ 1) ； ( 5 ) ( si n x ) ′＝ co s x ； ( 6 ) ( co s x ) ′ ＝－ si n x . 一、微積分基本定理 1 ．原函數(shù) 設(shè) f ( x ) 是定義在區(qū)間 I 上的一個函數(shù)，如果存在函數(shù) F ( x ) ，在區(qū)間 I 上的任何一點 x 處都有 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ，那么 F ( x ) 叫做函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù)． 2 ． 微積分基本定理 一般地，如果 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ，且 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上可積，則????abf ( x )d x ＝ F ( b ) － F ( a ) ． 這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓 — 萊布尼茨公式． 為了方便，我們常把 F ( b ) － F ( a ) 記作 F ( x )|ba，即 ????abf ( x )d x ＝ F ( x )|ba＝ F ( b ) － F ( a ) ． 注意： ( 1 ) 根據(jù)定義，求函數(shù) f ( x ) 的原函數(shù)，就是要求一個函數(shù) F ( x ) ，使它的導數(shù) F ′ ( x ) 等于 f ( x ) ．由于 [ F ( x ) ＋ c ] ′ ＝ F ′ ( x )＝ f ( x ) ， F ( x ) ＋ c 也是 f ( x ) 的原函數(shù)，其中 c 為常數(shù)． ( 2 ) 利用微積分基本定理求定積分????abf ( x )d x 的關(guān)鍵是找出使F ′ ( x ) ＝ f ( x ) 的原函數(shù) F ( x ) ．通常我們可以運用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向上求出 F ( x ) ． ( 3 ) 求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算． 計算下列定積分： ( 1 )????12 1x d x ； ( 2 ) ????13 (2 x － 1x 2 )d x . [ 解析 ] ( 1 ) 因為 ( l n x ) ′ ＝1x， 所以????121xd x ＝ ln x |21＝ l n 2 － l n 1 ＝ l n 2 . ( 2 ) 因為 ( x2) ′ ＝ 2 x ， (1x) ′ ＝－1x2 ，所以????13(2 x －1x2 )d x ＝????132 x d x－????131x2 d x ＝ x2|31＋1x|31＝ (9 － 1) ＋ (13－ 1) ＝223. 二、幾種典型平面圖形面積的計算 1 ．求由一條曲線 y ＝ f ( x ) 和直線 x ＝ a ， x ＝ b ( a b ) 及 y ＝ 0 所圍成平面圖形的面積 S . ( 1
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